Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Реши
Предмет: Комплексный анализ
Раздел: Дифференцируемость комплексных функций
Дано:
Функция f(z) = i \bar{z}, где \bar{z} — комплексно-сопряжённое число для z.
Необходимо:
Функция f(z) дифференцируема в точке z, если она удовлетворяет условию Коши-Римана. Разложим z на действительную и мнимую части:
z = x + iy, где x и y — действительные числа. Тогда:
\bar{z} = x - iy,
f(z) = i\bar{z} = i(x - iy) = -y + ix.
Запишем f(z) в виде:
f(z) = u(x, y) + iv(x, y),
где:
u(x, y) = -y,
v(x, y) = x.
Для дифференцируемости функции необходимо выполнение условий Коши-Римана:
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}
и
\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.
Вычислим частные производные:
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial (-y)}{\partial x} = 0,
\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial x}{\partial y} = 0,
\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial (-y)}{\partial y} = -1,
\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial x}{\partial x} = 1.
Условия Коши-Римана не выполняются, так как:
\frac{\partial u}{\partial x} \neq \frac{\partial v}{\partial y}
и
\frac{\partial u}{\partial y} \neq -\frac{\partial v}{\partial x}.
Следовательно, функция f(z) = i \bar{z} не является дифференцируемой ни в одной точке.
Так как функция f(z) не дифференцируема ни в одной точке, её производная f'(z) не существует.