Найти точки, в которых существует производная

Условие:

Реши

Условие: Реши

Решение:

Предмет: Комплексный анализ
Раздел: Дифференцируемость комплексных функций

Дано:
Функция f(z) = i \bar{z}, где \bar{z} — комплексно-сопряжённое число для z.

Необходимо:

  1. Найти точки, в которых существует производная f'(z).
  2. Вычислить f'(z), если она существует.

Решение

  1. Проверка условий дифференцируемости

Функция f(z) дифференцируема в точке z, если она удовлетворяет условию Коши-Римана. Разложим z на действительную и мнимую части:
z = x + iy, где x и y — действительные числа. Тогда:
\bar{z} = x - iy,
f(z) = i\bar{z} = i(x - iy) = -y + ix.

Запишем f(z) в виде:
f(z) = u(x, y) + iv(x, y),
где:
u(x, y) = -y,
v(x, y) = x.

Для дифференцируемости функции необходимо выполнение условий Коши-Римана:
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}
и
\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.

Вычислим частные производные:
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial (-y)}{\partial x} = 0,
\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial x}{\partial y} = 0,
\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial (-y)}{\partial y} = -1,
\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial x}{\partial x} = 1.

Условия Коши-Римана не выполняются, так как:
\frac{\partial u}{\partial x} \neq \frac{\partial v}{\partial y}
и
\frac{\partial u}{\partial y} \neq -\frac{\partial v}{\partial x}.

Следовательно, функция f(z) = i \bar{z} не является дифференцируемой ни в одной точке.

  1. Производная f'(z)

Так как функция f(z) не дифференцируема ни в одной точке, её производная f'(z) не существует.


Ответ:

  1. Функция f(z) = i \bar{z} не является дифференцируемой ни в одной точке.
  2. Производная f'(z) не существует.
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн