Найти сумму,разность,произведение и частное комплексных чисел

Предмет: Математика (алгебра) Раздел: Комплексные числа

Задание: Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел \( z_1 \) и \( z_2 \), если \( z_1 = -3 + 4i \); \( z_2 = 2 - 3i \).

Шаг 1: Сумма комплексных чисел

Формула для суммы: \[ z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i \]

Где \( z_1 = a_1 + b_1 i \) и \( z_2 = a_2 + b_2 i \).

Подставляем значения: \[ z_1 + z_2 = (-3 + 4i) + (2 - 3i) \]

Складываем вещественные (реальные) части и мнимые части: \[ z_1 + z_2 = (-3 + 2) + (4 - 3)i \]

\[ z_1 + z_2 = -1 + i \]

Таким образом, сумма: \[ z_1 + z_2 = -1 + i \]

Шаг 2: Разность комплексных чисел

Формула для разности: \[ z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i \]

Подставляем: \[ z_1 - z_2 = (-3 + 4i) - (2 - 3i) \]

Распределяем минус и вычитаем: \[ z_1 - z_2 = (-3 - 2) + (4 - (-3))i \]

\[ z_1 - z_2 = -5 + 7i \]

Таким образом, разность: \[ z_1 - z_2 = -5 + 7i \]

Шаг 3: Произведение комплексных чисел

Формула для произведения двух комплексных чисел: \[ z_1 \cdot z_2 = (a_1 + b_1 i) \cdot (a_2 + b_2 i) \]

Произведение комплексных чисел выполняется по правилу распределения: \[ z_1 \cdot z_2 = a_1 a_2 + a_1 b_2 i + a_2 b_1 i + b_1 b_2 i^2 \]

Подставляем: \[ (-3 + 4i)(2 - 3i) = -3 \cdot 2 + (-3) \cdot (-3i) + 4i \cdot 2 + 4i \cdot (-3i) \]

\[ = -6 + 9i + 8i - 12i^2 \]

Поскольку \( i^2 = -1 \), преобразуем: \[ = -6 + 9i + 8i + 12 \]

\[ = 6 + 17i \]

Таким образом, произведение: \[ z_1 \cdot z_2 = 6 + 17i \]

Шаг 4: Частное двух комплексных чисел

Формула для деления комплексных чисел: \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{z_2 \cdot \overline{z_2}} \]

Где \( \overline{z_2} \) — это комплексно-сопряженное к \( z_2 \), то есть \( \overline{z_2} = 2 + 3i \).

Подставляем:

1. Вычислим числитель: \[ z_1 \cdot \overline{z_2} = (-3 + 4i)(2 + 3i) \]

   \[ = (-3 \cdot 2) + (-3 \cdot 3i) + (4i \cdot 2) + (4i \cdot 3i) \]

   \[ = -6 - 9i + 8i + 12i^2 \]

   \[ = -6 - 9i + 8i - 12 \]

   \[ = -18 - i \]

2. Вычислим знаменатель: \[ z_2 \cdot \overline{z_2} = (2 - 3i)(2 + 3i) \]

   Это стандартная формула для разности квадратов: \[ z_2 \cdot \overline{z_2} = 2^2 - (3i)^2 = 4 - 9i^2 = 4 + 9 = 13 \]

   Теперь делим: \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{-18 - i}{13} \]

   Разделим каждую часть на 13: \[ \frac{z_1}{з_2} = -\frac{18}{13} - \frac{1}{13}i \]

   Таким образом, частное: \[ \frac{z_1}{z_2} = -\frac{18}{13} - \frac{1}{13}i \]

Ответы:

1. Сумма: \( z_1 + z_2 = -1 + i \).

2. Разность: \( z_1 - z_2 = -5 + 7i \).

3. Произведение: \( z_1 \cdot z_2 = 6 + 17i \).

4. Частное: \( \frac{z_1}{z_2} = -\frac{18}{13} - \frac{1}{13}i \).