Найти сумму, разность, произведение и частное двух комплексных чисел в алгебраической форме

Это задание относится к области алгебры и связано с операциями над комплексными числами. Даны два комплексных числа: z_1 = 1 + 2i и z_2 = 4 - 4i.

Чтобы найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел, следуем следующим шагам:

1. Сложение:

z_1 + z_2 = (1 + 2i) + (4 - 4i)

Складываем действительные части и мнимые части: (1 + 4) + (2i - 4i) = 5 - 2i.

Так что сумма z_1 и z_2 равна 5 - 2i.

2. Вычитание:

z_1 - z_2 = (1 + 2i) - (4 - 4i)

Вычитаем действительные части и мнимые части: (1 - 4) + (2i + 4i) = -3 + 6i.

Так что разность z_1 и z_2 равна -3 + 6i.

3. Умножение:

z_1 * z_2 = (1 + 2i)(4 - 4i)

Используем формулу для умножения комплексных чисел:

1 * 4 + 1 * (-4i) + 2i * 4 + 2i * (-4i) = 4 - 4i + 8i - 8i^2.

Так как i^2 = -1, то получаем: 4 + 4i + 8 = 12 + 4i.

Так что произведение z_1 и z_2 равно 12 + 4i.

4. Деление:

z_1 / z_2 = (1 + 2i) / (4 - 4i)

Чтобы разделить комплексные числа, умножаем числитель и знаменатель на сопряженное знаменателя (4 + 4i):

[(1 + 2i)(4 + 4i)] / [(4 - 4i)(4 + 4i)]

Раскроем скобки:

Числитель: 1 * 4 + 1 * 4i + 2i * 4 + 2i * 4i = 4 + 4i + 8i - 8 = -4 + 12i.

Знаменатель: 4^2 - (4i)^2 = 16 - 16(-1) = 16 + 16 = 32.

Теперь делим числитель на знаменатель:

(-4 + 12i) / 32 = -1/8 + 3/8i.

Так что частное z_1 и z_2 равно -1/8 + 3/8i.