Найти радиус и круг сходимости степенного ряда

Данное задание относится к предмету «Комплексный анализ», к разделам «Степенные ряды» и «Ряды комплексных чисел».

Степенной ряд имеет вид: $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{z^n}{n+1}.$$ Для нахождения радиуса сходимости используем теорему Коши-Адамара: \[ R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}. \] Во-первых, представим наш степенной ряд в форме, которая соотносится с теоремой: \[ a_n = \frac{(-1)^n}{n+1}. \] Найдем \(\sqrt[n]{|a_n|}\): \[ |a_n| = \left| \frac{(-1)^n}{n+1} \right| = \frac{1}{n+1}. \] Таким образом: \[ \sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{\frac{1}{n+1}}. \]

Теперь вычислим предел при \(n \to \infty\): \[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n+1}}. \] Заменим подкоренное выражение: \[ \sqrt[n]{\frac{1}{n+1}} = \left( \frac{1}{n+1} \right)^{1/n} = \left( \frac{1}{n+1} \right)^{\frac{1}{n}}. \] Так как \(\lim_{n \to \infty} (n+1) = \infty\), то \(\frac{1}{n+1} \to 0\). Используем формулу предела для этой функции: \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n+1} \right)^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} e^{\frac{\ln(1/(n+1))}{n}}. \] Этот предел равен \(e^0 = 1\), потому что логарифм дроби становится отрицательным и стремится к нулю при делении на бесконечный \(n\). Значит: \[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = 1. \] Это дает нам радиус сходимости: \[ R = \frac{1}{1} = 1. \]

Теперь проверим круг сходимости. Радиус \( |z| < 1 \) обусловливает, что ряд сходится внутри этой области по принципу по модулю каждого \(a_n\). Итак, радиус сходимости данного степенного ряда равен \( R = 1 \), и круг сходимости — это все значения комплексного числа \( z \), удовлетворяющие условию \( |z| < 1 \).