Найти производную

Предмет: Математический анализ

Раздел: Комплексный анализ

Рассмотрим функцию
 f(z) = \ln z ,
где  z \in \mathbb{C} .

1. Область дифференцируемости

Функция  \ln z  в комплексном анализе определяется как:
 \ln z = \ln |z| + i \arg z ,
где  |z|  — модуль числа  z , а  \arg z  — аргумент числа  z .

Функция  \ln z  является аналитической во всей комплексной плоскости, за исключением точки  z = 0  и разреза, который обычно выбирают вдоль отрицательной вещественной оси ( \mathbb{R}^{-} ), так как аргумент  \arg z  имеет разрыв.

Таким образом, область дифференцируемости:
 \mathbb{C} \setminus \{0, \text{разрез вдоль отрицательной вещественной оси}\} .

2. Вычисление производной

Используем стандартную формулу производной логарифма:

 \frac{d}{dz} \ln z = \frac{1}{z}. 

3. Выделение действительной и мнимой части

Представим  z  в показательной форме:
 z = r e^{i\theta} ,
где  r = |z|  и  \theta = \arg z .

Тогда
 \frac{1}{z} = \frac{1}{r e^{i\theta}} = \frac{1}{r} e^{-i\theta} = \frac{1}{r} (\cos(-\theta) + i\sin(-\theta)) = \frac{1}{r} (\cos \theta - i\sin \theta). 

Отсюда:

• Действительная часть:  \frac{\cos \theta}{r} .
• Мнимая часть:  -\frac{\sin \theta}{r} .

Ответ:

1. Область дифференцируемости:  \mathbb{C} \setminus \{0, \mathbb{R}^{-} \} .
2. Производная:  \frac{1}{z} .
3. Действительная часть:  \frac{\cos \theta}{r} , мнимая часть:  -\frac{\sin \theta}{r} .