Найти произведение и частное двух комплексных чисел в тригонометрической форме

Этот вопрос относится к предмету "Математика", а конкретнее к разделу "комплексные числа". Мы будем работать с комплексными числами, представленными в тригонометрической форме. Дано:

1. Переводим комплексные числа в тригонометрическую форму:
   Для каждого комплексного числа представим его в виде \( z = r \left(\cos \theta + i\sin \theta\right) \), где \( r \) - это модуль комплексного числа, а \( \theta \) - аргумент.
   Комплексное число \( z_1 = 3 + \sqrt{3}i \):
   • Модуль (r): \[ r_1 = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \]
   • Аргумент (\( \theta \)): \[ \tan \theta_1 = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] \[ \theta_1 = \arctan{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\pi}{6} \]
   Таким образом, \( z_1 \) в тригонометрической форме: \[ z_1 = 2\sqrt{3} \left(\cos{\frac{\pi}{6}} + i \sin{\frac{\pi}{6}}\right) \]
   Комплексное число \( z_2 = -7\sqrt{3} - 7i \):
   • Модуль (r): \[ r_2 = \sqrt{(-7\sqrt{3})^2 + (-7)^2} = \sqrt{147 + 49} = \sqrt{196} = 14 \]
   • Аргумент (\( \theta \)): \[ \tan \theta_2 = \frac{-7}{-7\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] Так как числа лежат в третьем квадранте: \[ \theta_2 = \pi + \arctan{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \]
   Таким образом, \( z_2 \) в тригонометрической форме: \[ z_2 = 14 \left(\cos{\frac{7\pi}{6}} + i \sin{\frac{7\pi}{6}}\right) \]
2. Нахождение произведения \( z_1 \cdot z_2 \):
   Произведение двух комплексных чисел в тригонометрической форме выражается как: \[ z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 \left( \cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2) \right) \]
   Подставим значения: \[ r_1 r_2 = 2\sqrt{3} \cdot 14 = 28\sqrt{3} \] \[ \theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{7\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3} \]
   Следовательно: \[ z_1 \cdot z_2 = 28\sqrt{3} \left( \cos{\frac{4\pi}{3}} + i \sin{\frac{4\pi}{3}} \right) \]
3. Нахождение частного \( \frac{z_1}{z_2} \):
   Частное двух comp