Найти оригинал для функции

Данное задание относится к предмету математического анализа, разделу "Обратное преобразование Лапласа".

Задание

Найти оригинал для функции \( F(p) = \frac{2 - p}{(p + 3)(p^2 + 6)} \). Это означает, что необходимо выполнить обратное преобразование Лапласа.

Шаг 1. Разложение на простейшие дроби

Сначала разложим дробь на сумму дробей удобного вида. Запишем функцию: \[ F(p) = \frac{2 - p}{(p + 3)(p^2 + 6)}. \]

Для разложения функции \( F(p) \), предположим, что функция представима в виде: \[ F(p) = \frac{A}{p + 3} + \frac{Bp + C}{p^2 + 6}, \] где \( A, B, C \) являются коэффициентами, которые нужно определить.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \( (p + 3)(p^2 + 6) \), чтобы избавиться от дробей: \[ 2 - p = A(p^2 + 6) + (Bp + C)(p + 3). \]

Раскроем скобки: \[ 2 - p = A(p^2) + 6A + Bp^2 + 3Bp + Cp + 3C. \]

Сгруппируем члены по степеням \( p \): \[ 2 - p = (A + B)p^2 + (3B + C)p + (6A + 3C). \]

Теперь приравняем коэффициенты перед одинаковыми степенями \( p \):

• Для \( p^2 \): \( A + B = 0 \).
• Для \( p \): \( 3B + C = -1 \).
• Для свободного члена: \( 6A + 3C = 2 \).

Шаг 2. Решение системы уравнений

Решим систему уравнений для \( A, B, C \):

1. \( A + B = 0 \implies B = -A. \)
2. \( 3B + C = -1 \implies 3(-A) + C = -1 \implies -3A + C = -1. \)
3. \( 6A + 3C = 2. \)

Подставим \( C = 3A - 1 \) из второго уравнения в третье: \[ 6A + 3(3A - 1) = 2, \] \[ 6A + 9A - 3 = 2, \] \[ 15A = 5 \implies A = \frac{1}{3}. \]

Тогда: \[ B = -A = -\frac{1}{3}, \] \[ C = 3A - 1 = 3\left(\frac{1}{3}\right) - 1 = 0. \]

Шаг 3. Представление функции

Подставим значения \( A, B, C \) в разложение: \[ F(p) = \frac{\frac{1}{3}}{p + 3} + \frac{-\frac{1}{3}p}{p^2 + 6}. \]

Шаг 4. Обратное преобразование Лапласа

1. \(\frac{1/3}{p + 3}\): \[ \mathcal{L}^{-1} \left(\frac{1/3}{p + 3}\right) = \frac{1}{3} e^{-3t}. \]
2. \(-\frac{1/3 \cdot p}{p^2 + 6}\): Для этого видим, что \( \frac{p}{p^2 + 6} \) обратно преобразуется в \( \cos(\sqrt{6}t) \). Тогда: \[ \mathcal{L}^{-1} \left(-\frac{1/3 \cdot p}{p^2 + 6}\right) = -\frac{1}{3} \cos(\sqrt{6}t). \]

Объединяя оба результата, получаем: \[ f(t) = \frac{1}{3} e^{-3t} - \frac{1}{3} \cos(\sqrt{6}t}. \]

Ответ:

Оригинал функции \( f(t) \) равен: \[ f(t) = \frac{1}{3} e^{-3t} - \frac{1}{3} \cos(\sqrt{6}t). \]

Теперь используем таблицы преобразований Лапласа. Обратное преобразование каждого из слагаемых: