Найти образы множеств

Это задание связано с комплексным анализом, а именно с нахождением образов множеств при некотором отображении в комплексной плоскости.

а) Найти образы множеств \( M_1 \) и \( M_2 \) при отображении \( w = e^z \)

1. Множество \( M_1 \): \( y = 0 \), \( 0 \leq x < \infty \)

Множество \( M_1 \) представляет собой вещественную ось от 0 до бесконечности: \( z = x \), где \( y = 0 \), т.е. \( z = x + i0 \). В выражении \( w = e^z \), подставим \( z = x \):

\[ w = e^x. \]

Так как \( x \in [0, \infty) \), то \( w \in [1, \infty) \). Это означает, что образом множества \( M_1 \) будет интервал на вещественной оси от 1 до бесконечности.

Ответ для \( M_1 \): \( w \in [1, \infty) \), то есть вещественная полуось.

2. Множество \( M_2: 0 \leq x \leq 1 \), \( y \) — любое

Здесь \( z = x + iy \), где \( x \in [0, 1] \) и \( y \in (-\infty, \infty) \). Для отображения \( w = e^z \), имеем:

\[ w = e^{x+iy} = e^x e^{iy}. \]

Модуль этого выражения равен \( |w| = e^x \), а аргумент — \( \arg(w) = y \). Таким образом, для \( x \in [0, 1] \), \( |w| \in [1, e] \), а так как \( y \) — любое, то аргумент \( \arg(w) \in (-\infty, \infty) \).

Ответ для \( M_2 \): кольцо радиусов от 1 до \( e \) с произвольным аргументом, т.е. \( w \in \{ 1 \leq |w| \leq e \text{ и } \arg(w) \in (-\infty, \infty) \} \).

б) Отображение, переводящее множество \( \{ \Re z \leq 0, \Im z \leq 0 \} \) на множество \( \{ \Re w \leq 0, 0 \leq \Im w \leq \pi \} \)

Отображение у нас задано в виде \( w = e^z \). Рассмотрим множество \( \{ \Re z \leq 0, \Im z \leq 0 \} \), что означает, что \( z = x + iy \), где \( x \leq 0 \) и \( y \leq 0 \). Теперь найдём образ этого множества при отображении \( w = e^z \).

\[ w = e^{x+iy} = e^x e^{iy} \]

1. Условия для модуля \( |w| = e^x \): Так как \( x \leq 0 \), то \( |w| \in (0, 1] \).

2. Условия для аргумента \( \arg(w) = y \): Так как \( y \leq 0 \), то \( \arg(w) \in (-\pi, 0] \). Для перехода к нужному множеству: \( \Re w \leq 0 \), \( 0 \leq \Im w \leq \pi \), нужно выполнить поворот на угол \( \pi \) в комплексной плоскости.

Таким образом, отображение, которое переводит множество \( \{ \Re z \leq 0, \Im z \leq 0 \} \) на множество \( \{ \Re w \leq 0, 0 \leq \Im w \leq \pi \} \), — это отображение вида \( w = -e^z \).

Ответ: б) \(-e^z\).