Условие:
Найти области, в которых функция f(z) =|x^2 + y^2| + 2i|xy|
будет аналитической.
Решение:
Определение предмета и раздела: Это задание относится к комплексному анализу, который входит в состав курса высшей математики. Необходимо определить, в каких областях функция \( f(z) \) будет аналитической. Задание связано с анализом комплексных функций, нормальными формами записи и исследованием условий аналитичности комплексных функций (условия Коши-Римана).
Исходные данные: Дана функция: \[ f(z) = |x^2 + y^2| + 2i|xy| \] где \( z = x + iy \) — комплексное число, \( x \) и \( y \) — его действительная и мнимая часть соответственно. Мы должны определить, где эта функция будет аналитической.
1. Пояснение задачи: Функция комплексного переменного \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \), где \( u(x, y) \) и \( v(x, y) \) — действительные функции, называется аналитической, если она удовлетворяет условиям Коши-Римана: \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \qquad \text{и} \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \] Также должны выполняться дополнительные условия: частные производные функций \( u(x, y) \) и \( v(x, y) \) должны быть непрерывными.
2. Разбор функции \( f(z) \): В данном случае функция представлена как: \[ f(z) = |x^2 + y^2| + 2i|xy| \] Здесь можно выделить действительную и мнимую части функции:
- Действительная часть \( u(x, y) = |x^2 + y^2| \)
- Мнимая часть \( v(x, y) = 2|xy| \)
Теперь проверим выполнение условий Коши-Римана.
3. Проверка условий Коши-Римана:
a) Частные производные для \( u(x, y) = |x^2 + y^2| \):
- \( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{2x}{|x^2 + y^2|} \text{ при } x^2 + y^2 \neq 0, \) и \( 0 \text{ при } x^2 + y^2 = 0 \)
- \( \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{2y}{|x^2 + y^2|} \text{ при } x^2 + y^2 \neq 0, \) и \( 0 \text{ при } x^2 + y^2 = 0 \)
b) Частные производные для \( v(x, y) = 2|xy| \):
- \( \frac{\partial v}{\partial x} = 2 \cdot \frac{xy}{|xy|} \cdot y \,\ {} = 2y \text{ при } xy \neq 0, \ и \ 0 \text{ при } x = 0 \text{ или } y = 0 \)
- \( \frac{\partial v}{\partial y} = 2 \cdot \frac{xy}{|xy|} \cdot x \,\ {} = 2x \text{ при } xy \neq 0, \ и \ 0 \text{ при } x = 0 \text{ или } y = 0 \)
4. Сравнение частных производных: Теперь проверим выполнение условий Коши-Римана:
- \( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{2x}{|x^2 + y^2|} \), а \( \frac{\partial v}{\partial y} = 2x \). Эти выражения равны только в случае, если \( x^2 + y^2 = 1 \). Однако в общем случае они отличаются.
- \( \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{2y}{|x^2 + y^2|} \), а \( \frac{\partial v}{\partial x} = 2y \). Эти выражения также равны только при \( x^2 + y^2 = 1 \). Следовательно, в общем случае условия Коши-Римана не выполняются, кроме особых случаев, когда \( x^2 + y^2 = 1 \). Однако, поскольку у нас есть модули и абсолютные значения в функции, это создает разрывы в производных на границах, где \( x = 0 \) или \( y = 0 \), то есть в этих точках появляются особые разрывы.
5. Ответ: Функция не будет аналитической ни в одной области на комплексной плоскости.