Найти модуль и главное значение аргумента комплексного числа

Это задание из области комплексного анализа, часть математики. Дано комплексное число \( z = -1 + \sqrt{2}i \).

1. Найдем модуль комплексного числа.

Модуль числа \( z = a + bi \) вычисляется по формуле:

\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Где \( a = -1 \) и \( b = \sqrt{2} \).

\[ |z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{2})^2} \]

\[ |z| = \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3} \]

2. Определим главный аргумент.

Аргумент числа \( z = a + bi \) определяется как угол в комплексной плоскости и вычисляется с помощью функции арктангенса:

\[ \text{arg}(z) = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \]

Для числа \( -1 + \sqrt{2}i \):

\[ \text{arg}(z) = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{-1}\right) \]

Число находится во втором квадранте, поэтому:

\[ \text{arg}(z) = \pi - \tan^{-1}\left(\sqrt{2}\right) \]

3. Представим в тригонометрической форме.

Тригонометрическая форма числа:

\[ z = |z|(\cos \text{arg}(z) + i\sin \text{arg}(z)) \]

Подставляя значения:

\[ z = \sqrt{3} \left(\cos\left(\pi - \tan^{-1}\left(\sqrt{2}\right)\right) + i\sin\left(\pi - \tan^{-1}\left(\sqrt{2}\right)\right)\right) \]

4. Представим в показательной форме.

Показательная форма числа:

\[ z = |z|e^{i \text{arg}(z)} \]

Подставляя значения:

\[ z = \sqrt{3} e^{i(\pi - \tan^{-1}(\sqrt{2}))} \]

5. Изобразим на комплексной плоскости.

На комплексной плоскости число \( z = -1 + \sqrt{2}i \) будет точкой с координатами (-1, \(\sqrt{2}\)). Оно находится во втором квадранте.