Найти модуль и аргумент числа

Данный пример относится к предмету "Математика" и разделу "Комплексные числа".

Комплексное число \( z = -1 + i \), где \( i \) – это мнимая единица.

1. Найдем модуль комплексного числа \( z \).

Модуль комплексного числа \( z = a + bi \) вычисляется по формуле:

\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]

В нашем случае \( a = -1 \) и \( b = 1 \). Подставим эти значения в формулу:

\[ |z| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \]

Таким образом, модуль числа \( z \) равен \( \sqrt{2} \).

2. Найдем аргумент комплексного числа \( z \).

Аргументом комплексного числа \( z = a + bi \) называется угол \( \theta \) в комплексной плоскости, отсчитанный против часовой стрелки от положительной оси действительных чисел до вектора, соответствующего \( z \). Аргумент можно найти с помощью функции арктангенса:

\[ \theta = \arctan \left( \frac{b}{a} \right) \]

В нашем случае \( a = -1 \) и \( b = 1 \).

\[ \theta = \arctan \left( \frac{1}{-1} \right) = \arctan (-1) \]

Функция \(\arctan (-1)\) возвращает угол \(-\frac{\pi}{4}\) радиан (или \(-45^\circ\)), но так как точка ((-1, 1)) находится во второй четверти комплексной плоскости, необходимо добавить \(\pi\) радиан для приведения угла в правильный диапазон:

\[ \theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \]

Таким образом, модуль числа \( z \) равен \( \sqrt{2} \), а аргумент числа \( z \) равен \( \frac{3\pi}{4} \) радиан.