Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Найти контурный интеграл: \[ \int\limits_{|z|=1} z^5 \cos\left(\frac{2}{z^2}\right) \, dz, \] используя метод вычетов.
Функция, стоящая под знаком интеграла выглядит как \( f(z) = z^5 \cos\left( \frac{2}{z^2} \right) \). Поскольку контур проходит по окружности радиуса 1, нам необходимо рассмотреть поведение функции внутри этого контура и найти полюса функции.
\[ \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}, \] заменяя \( x = \frac{2}{z^2} \), получаем: \[ \cos\left(\frac{2}{z^2}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \left( \frac{2}{z^2} \right)^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^{2n}}{(2n)! z^{4n}}. \]
Подставляем это в исходную функцию: \[ z^5 \cos\left(\frac{2}{z^2}\right) = z^5 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^{2n}}{(2n)! z^{4n}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^{2n} z^{5-4n}}{(2n)!}. \]
Интересуют полюса внутри контура \( |z| = 1 \). Каждый член разложения имеет вид \( z^{5 - 4n} \), и полюсы возникают, если показатель степени у \( z \) становится отрицательным. Итак, нам нужно найти такие \( n \), при которых \( 5 - 4n < 0 \). Это выполняется при \( n \geq 2 \). Таким образом, существенный вклад в интеграл внесут члены с \( n = 2 \), т.е. когда \( z^{-3} \), потому что это даст полюс порядка 3.
Рассматриваем при \( n = 2 \) выражение: \[ z^5 \cdot \frac{(-1)^2 \cdot 2^4}{4! z^8} = \frac{16 z^{-3}}{24} = \frac{2}{3z^3}. \]
Это и есть главная часть для поиска вычета \( \frac{2}{3z^3} \).
Контурный интеграл по замкнутому контуру равен \( 2\pi i \times \text{(сумма вычетов)} \). В данном случае у нас полюс порядка 3, и вычет равен коэффициенту при \( z^{-1} \) в разложении функции в ряд (его нет, так как минимальный член - \( z^{-3} \).). Следовательно, в данном случае вычет равен нулю.
\[ \int\limits_{|z| = 1} z^5 \cos\left( \frac{2}{z^2} \right)\, dz = 0. \]
Вычет можно найти для главной части разложения (которая содержит полюс):