Найти изолированные особые точки, классифицируем их и вычислим вычеты

Предмет: Комплексный анализ

Раздел: Особые точки и вычисление вычетов

Рассмотрим две функции и найдем их изолированные особые точки, классифицируем их и вычислим вычеты.

Решение для пункта (а)

Функция:
 f(z) = \frac{e^{z^2} - 1}{z^3 - iz^2} 

1. Найдем особые точки

Особые точки возникают там, где знаменатель обращается в ноль:
 z^3 - iz^2 = 0 
Разложим на множители:
 z^2 (z - i) = 0 
Отсюда особые точки:
 z = 0, \quad z = i 

2. Классифицируем особые точки

• Точка  z = 0 
  Знаменатель имеет множитель  z^2 , то есть ноль второго порядка. Числитель разложим в ряд Тейлора:
   e^{z^2} - 1 = z^2 + \frac{z^4}{2!} + \mathcal{O}(z^6) 
  Видно, что числитель также содержит  z^2 , что сокращает порядок нуля в знаменателе.
  Итог:  z = 0  — полюс первого порядка.

• Точка  z = i 
  Знаменатель имеет множитель  (z - i) , а числитель  e^{z^2} - 1  не обращается в ноль при  z = i .
  Таким образом,  z = i  — полюс первого порядка.

3. Вычислим вычеты

• Вычет в точке  z = 0 
  Используем стандартную формулу для полюса первого порядка:
   \text{Res}(f, 0) = \lim_{z \to 0} z f(z) 
  Подставляем:
   \text{Res}(f, 0) = \lim_{z \to 0} z \cdot \frac{z^2}{z^2 (z - i)} = \lim_{z \to 0} \frac{z^3}{z^2 (z - i)} = \lim_{z \to 0} \frac{z}{z - i} = 0. 
  Значит, вычет в точке  z = 0  равен 0.

• Вычет в точке  z = i 
  Используем формулу:
   \text{Res}(f, i) = \lim_{z \to i} (z - i) f(z) 
  Подставляем:
   \text{Res}(f, i) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \frac{e^{z^2} - 1}{z^2 (z - i)} = \lim_{z \to i} \frac{e^{z^2} - 1}{z^2} 
  Подставляя  z = i , получаем:
   \text{Res}(f, i) = \frac{e^{-1} - 1}{-1} = 1 - e^{-1}. 

Решение для пункта (б)

Функция:
 f(z) = \frac{2}{z} + \sin\left(\frac{2}{z}\right) 

1. Найдем особые точки

Особые точки возникают там, где знаменатель в дробных выражениях обращается в ноль. Здесь единственная особая точка —  z = 0 .

2. Классифицируем особую точку

Рассмотрим поведение  \sin(2/z) . Разложим в ряд Тейлора:
 \sin\left(\frac{2}{z}\right) = \frac{2}{z} - \frac{\left(\frac{2}{z}\right)^3}{3!} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{z^5}\right). 
Тогда
 f(z) = \frac{2}{z} + \left(\frac{2}{z} - \frac{8}{6z^3} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{z^5}\right)\right) = \frac{4}{z} - \frac{4}{3z^3} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{z^5}\right). 
Видно, что у функции есть член  \frac{4}{z} , но также присутствует  \frac{4}{3z^3} , что говорит о наличии бесконечного числа членов отрицательных степеней.

Следовательно,  z = 0  — это существенно особая точка.

3. Вычислим вычет

Вычет определяется коэффициентом при  \frac{1}{z}  в разложении. Здесь этот коэффициент равен 4, то есть
 \text{Res}(f, 0) = 4. 

Ответ:

1. Для функции (а):

   • Особые точки:  z = 0, z = i .
   • Классификация:
     •  z = 0  — полюс первого порядка.
     •  z = i  — полюс первого порядка.
   • Вычеты:
     •  \text{Res}(f, 0) = 0 .
     •  \text{Res}(f, i) = 1 - e^{-1} .

2. Для функции (б):

   • Особая точка:  z = 0 .
   • Классификация:  z = 0  — существенно особая точка.
   • Вычет:  \text{Res}(f, 0) = 4 .