Найти экстремумы и промежутки монотонности функций

Это задание по математике, раздел анализа функций.

1. Найдем производную функции, чтобы определить экстремумы и промежутки монотонности.

Функция: y = 2x^2 + 5x - 3.

Найдем производную: y' = (2x^2 + 5x - 3)' = 4x + 5.

2. Определим критические точки, решив уравнение y' = 0:

4x + 5 = 0. Отсюда x = -5/4.

3. Проанализируем производную на интервалах, чтобы определить промежутки возрастания и убывания:

• Для x < -5/4, например, при x = -2: y' = 4(-2) + 5 = -8 + 5 = -3 (отрицательно). Значит, функция убывает.
• Для x > -5/4, например, при x = 0: y' = 4(0) + 5 = 5 (положительно). Значит, функция возрастает.

Соответственно, функция имеет минимум в точке x = -5/4.

4. Найдем значение функции в этой точке:

y = 2(-5/4)^2 + 5(-5/4) - 3.

y = 2(25/16) - 25/4 - 3.

y = 50/16 - 100/16 - 48/16.

y = -98/16 = -49/8.

Таким образом, минимальное значение функции равно -49/8 при x = -5/4.

5. Промежутки монотонности:

• Функция убывает на интервале (-∞, -5/4).
• Функция возрастает на интервале (-5/4, ∞).

6. Построение графика:

График функции — это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при x^2 положителен (2).

• Вершина параболы находится в точке (x = -5/4, y = -49/8).
• Пересечение оси y: когда x = 0, y = -3.
• Осевые зеркальности относительно вершины.

Теперь у вас есть все данные для построения графика функции. Экстремум (минимум) у функции в точке (-5/4, -49/8), функция убывает на (-∞, -5/4) и возрастает на (-5/4, ∞).