Найти дивергенцию и ротор векторного поля. Определить тип поля

Определение предмета

Этот пример относится к предмету "Векторный анализ", который обычно является частью курса высшей математики или математической физики.

Задание задания

Нужно найти дивергенцию и ротор (вихрь) векторного поля и определить тип поля.

Векторное поле

Векторное поле задано как: \[ \mathbf{F} = x \mathbf{i} + xz \mathbf{j} - z \mathbf{k} \] где \( \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} \) - орты (единичные векторы) осей \( x, y, z \).

1. Найти дивергенцию векторного поля

Дивергенция векторного поля \( \mathbf{F} \) определяется как скалярное произведение оператора набла (\( \nabla \)) и векторного поля \( \mathbf{F} \): \[ \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} \] Где компоненты поля \( \mathbf{F} \) следующие: \[ F_x = x \] \[ F_y = xz \] \[ F_z = -z \] Теперь вычислим частные производные: \[ \frac{\partial F_x}{\partial x} = \frac{\partial x}{\partial x} = 1 \] \[ \frac{\partial F_y}{\partial y} = \frac{\partial (xz)}{\partial y} = x \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = 0 \] (так как x и z являются константами по отношению к y) \[ \frac{\partial F_z}{\partial z} = \frac{\partial (-z)}{\partial z} = -1 \] Теперь сложим эти производные: \[ \nabla \cdot \mathbf{F} = 1 + 0 - 1 = 0 \]

2. Найти ротор (вихрь) векторного поля

Ротор векторного поля \( \mathbf{F} \) определяется как векторное произведение оператора набла (\( \nabla \)) и векторного поля \( \mathbf{F} \): \[ \nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x & xz & -z \end{vmatrix} \] Подставим компоненты: \[ \nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x & xz & -z \end{vmatrix} \] Разложим якобиан по первому ряду: \[ \nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{i} \left( \frac{\partial (-z)}{\partial y} - \frac{\partial (xz)}{\partial z} \right) - \mathbf{j} \left( \frac{\partial (-z)}{\partial x} - \frac{\partial x}{\partial z} \right) + \mathbf{k} \left( \frac{\partial (xz)}{\partial x} - \frac{\partial x}{\partial y} \right) \] Выполним производные: \[ = \mathbf{i} \left( 0 - x \right) - \mathbf{j} \left( 0 - 0 \right) + \mathbf{k} \left( z - 0 \right) \] \[ = -x \mathbf{i} + z \mathbf{k} \] Таким образом, \[ \nabla \times \mathbf{F} = -x \mathbf{i} + z \mathbf{k} \]

Определение типа поля

- Дивергенция равна нулю (\( \nabla \cdot \mathbf{F} = 0 \)), следовательно, поле безисточник (\( \mathbf{F} \) не имеет источников или стоков). - Ротор (\( \nabla \times \mathbf{F} = -x \mathbf{i} + z \mathbf{k} \)) не равен нулю, следовательно, поле является вихревым. Итак, векторное поле \( \mathbf{F} \) является вихревым безисточниковым полем.