Найти аналитические функции f(z) = u + iv по заданной действительной или мнимой части V=3+x^2-y^2 - (y/(2(x^2+y^2)))

Предмет: Комплексный анализ

Раздел: Аналитические функции, условия Коши-Римана

Заданная функция: \[ V = 3 + x^2 - y^2 - \frac{y}{2(x^2 + y^2)} \]

Это у нас мнимая часть комплексной функции \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \), где \( u(x, y) \) — действительная часть, а \( v(x, y) \) — мнимая часть. Нам дано, что \( v(x, y) = 3 + x^2 - y^2 - \frac{y}{2(x^2 + y^2)} \), и нам нужно найти действительную часть функции \( u(x, y) \), используя условия Коши-Римана.

Условия Коши-Римана

Условия Коши-Римана заключаются в том, что для функции \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \), где \( z = x + iy \), верны следующие соотношения:

\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \] и \[ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \]

Шаг 1: Вычисляем частные производные для \( v(x, y) \)

Дано: \[ v(x, y) = 3 + x^2 - y^2 - \frac{y}{2(x^2 + y^2)} \]

Вычислим частные производные:

1. \( \frac{\partial v}{\partial y} \): \[ \frac{\partial v}{\partial y} = -2y - \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y}{2(x^2 + y^2)} \right) \]

   Используем правило дифференцирования частного: \[ \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y}{2(x^2 + y^2)} \right) = \frac{1 \cdot 2(x^2 + y^2) - y \cdot 2y}{4(x^2 + y^2)^2} = \frac{2(x^2 + y^2) - 2y^2}{4(x^2 + y^2)^2} = \frac{2x^2}{4(x^2 + y^2)^2} \]

   Тогда: \[ \frac{\partial v}{\partial y} = -2y - \frac{x^2}{2(x^2 + y^2)^2} \]

2. \( \frac{\partial v}{\partial x} \): \[ \frac{\partial v}{\partial x} = 2x - \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{y}{2(x^2 + y^2)} \right) \]

   Опять используем правило дифференцирования частного: \[ \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{y}{2(x^2 + y^2)} \right) = -y \cdot \frac{2x}{2(x^2 + y^2)^2} = -\frac{xy}{(x^2 + y^2)^2} \]

   Тогда: \[ \frac{\partial v}{\partial x} = 2x + \frac{xy}{(x^2 + y^2)^2} \]

Шаг 2: Используем условия Коши-Римана

Теперь применим условия Коши-Римана для нахождения производных функции \( u(x, y) \).

1. По первому условию Коши-Римана: \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \]

   Тогда: \[ \frac{\partial u}{\partial x} = -2y - \frac{x^2}{2(x^2 + y^2)^2} \]

2. По второму условию Коши-Римана: \[ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \]

   Тогда: \[ \frac{\partial u}{\partial y} = - \left( 2x + \frac{xy}{(x^2 + y^2)^2} \right) = -2x - \frac{xy}{(x^2 + y^2)^2} \]

Шаг 3: Интегрируем уравнения для нахождения \( u(x, y) \)

Теперь нужно найти саму функцию \( u(x, y) \), интегрируя уравнения, полученные на предыдущем шаге.

1. Интегрируем \( \frac{\partial u}{\partial x} = -2y - \frac{x^2}{2(x^2 + y^2)^2} \) по \( x \):

   \[ u(x, y) = -2xy + F(y) \] (где \( F(y) \) — некоторая функция только от \( y \)).

2. Интегрируем \( \frac{\partial u}{\partial y} = -2x - \frac{xy}{(x^2 + y^2)^2} \) по \( y \):

   \[ u(x, y) = -2xy + G(x) \] (где \( G(x) \) — некоторая функция только от \( x \)).

   Получаем, что функции \( F(y) \) и \( G(x) \) должны быть постоянными, так как \( u(x, y) \) имеет одинаковую форму в обоих случаях.

Ответ

Таким образом, действительная часть аналитической функции \( f(z) \) оказывается равной: \[ u(x, y) = -2xy \quad \text{(с точностью до постоянной)} \]

Итоговая функция

Аналитическая функция \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \) имеет вид: \[ f(z) = -2xy + i \left( 3 + x^2 - y^2 - \frac{y}{2(x^2 + y^2)} \right) \]