Найдите сумму, разность, произведение и частное двухкомплексных чисел

Предмет: Математика
Раздел: Алгебра, подраздел — Комплексные числа

Нам даны два комплексных числа:

z_1 = 2 + 5i
z_2 = 1 + 2i

Найдем:

1. Сумма двух комплексных чисел:

Складываем действительные и мнимые части по отдельности:

 z_1 + z_2 = (2 + 5i) + (1 + 2i) = (2 + 1) + (5i + 2i) = 3 + 7i 

2. Разность двух комплексных чисел:

Вычитаем действительные и мнимые части:

 z_1 - z_2 = (2 + 5i) - (1 + 2i) = (2 - 1) + (5i - 2i) = 1 + 3i 

3. Произведение двух комплексных чисел:

Используем формулу умножения:
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2,
где i^2 = -1.

 (2 + 5i)(1 + 2i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2i + 5i \cdot 1 + 5i \cdot 2i = 2 + 4i + 5i + 10i^2 

 = 2 + 9i + 10(-1) = 2 + 9i - 10 = -8 + 9i 

4. Частное двух комплексных чисел:

Чтобы разделить z_1 на z_2, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю:

Сопряжённое к z_2 = 1 + 2i — это \overline{z_2} = 1 - 2i.

 \frac{z_1}{z_2} = \frac{2 + 5i}{1 + 2i} \cdot \frac{1 - 2i}{1 - 2i} 

В числителе:

 (2 + 5i)(1 - 2i) = 2 \cdot 1 - 2 \cdot 2i + 5i \cdot 1 - 10i^2 = 2 - 4i + 5i + 10 = 12 + i 

В знаменателе:

 (1 + 2i)(1 - 2i) = 1 - 2i + 2i - 4i^2 = 1 + 4 = 5 

Итак:

 \frac{z_1}{z_2} = \frac{12 + i}{5} = \frac{12}{5} + \frac{1}{5}i 

Ответ:

• Сумма: 3 + 7i
• Разность: 1 + 3i
• Произведение: -8 + 9i
• Частное: \frac{12}{5} + \frac{1}{5}i