Нахождение множества точек, соответствующих комплексным числам, которые удовлетворяют данным условиям на комплексной плоскости

Данное задание относится к разделу комплексного анализа, а точнее к теме геометрическое представление комплексных чисел. В подобных задачах подразумевается нахождение множества точек, соответствующих комплексным числам, которые удовлетворяют данным условиям на комплексной плоскости.

Рассмотрим каждый из пунктов:

26. a) $|z+1|<|z+2i|$

Этот неравенство сравнивает расстояния комплексного числа $z$ до двух фиксированных точек. Условие $|z+1|<|z+2i|$ означает, что точка $z$ на комплексной плоскости находится ближе к точке $-1+0i$, чем к точке $0-2i$. Такое множество точек представляет собой прямую, которая является серединным перпендикуляром между этими двумя точками. Все точки, для которых данные расстояния равны, лежат на этой прямой. Так как у нас $<$, то нас интересует внутренняя часть относительно этой прямой — все точки, которые ближе к $-1+0i$, чем к $0-2i$. Геометрически это будет половина плоскости, ограниченная прямой.

26. b) $|z+i|>|2z-1|$

Условие $|z+i|>|2z-1|$ означает, что точка $z$ на комплексной плоскости находится дальше от точки $0-i$, чем от точки, которая зависит от $z$ (то есть от точки, гомотетичной $z$, с коэффициентом 2 и сдвигом на $1$). Этот тип задач сложнее, поэтому для нахождения множества нужно преобразовать условие. Для упрощения, попробуем разложить модуль и найти взаимосвязь между реальной и мнимой частями через уравнение. Но в общем виде это тоже будет множество точек, граница которого возможно будет окружностью или гиперболой.

26. c) $-2<\text{Im}(z)<3$

Данное условие говорит, что мнимая часть комплексного числа $z$ лежит в промежутке между $-2$ и $3$. Это означает, что искомое множество точек представляет собой полосу на комплексной плоскости, ограниченную двумя горизонтальными прямыми:

• $\text{Im}(z)=-2$;
• $\text{Im}(z)=3$.

Графики:

• Для пункта a будет полуплоскость, с границей — серединным перпендикуляром между точками $-1$ и $2i$.
• Для пункта b возможно потребуется более сложный анализ, но можно ожидать, что это также будет какое-то множество точек, определяемое расстояниями до разных точек.
• Для пункта c — это будет горизонтальная полоса между прямыми $\text{Im}(z)=-2$ и $\text{Im}(z)=3$.

Множество точек будет лежать между этими двумя прямыми, но не содержать их, так как неравенства строгое.