Нахождение множества точек, соответствующих комплексным числам, которые удовлетворяют данным условиям на комплексной плоскости

Данное задание относится к разделу комплексного анализа, а точнее к теме геометрическое представление комплексных чисел. В подобных задачах подразумевается нахождение множества точек, соответствующих комплексным числам, которые удовлетворяют данным условиям на комплексной плоскости.

Рассмотрим каждый из пунктов:

26. a) |z+1| < |z+2i|

Этот неравенство сравнивает расстояния комплексного числа z до двух фиксированных точек. Условие |z + 1| < |z + 2i| означает, что точка z на комплексной плоскости находится ближе к точке -1+0i, чем к точке 0-2i. Такое множество точек представляет собой прямую, которая является серединным перпендикуляром между этими двумя точками. Все точки, для которых данные расстояния равны, лежат на этой прямой. Так как у нас <, то нас интересует внутренняя часть относительно этой прямой — все точки, которые ближе к -1+0i, чем к 0-2i. Геометрически это будет половина плоскости, ограниченная прямой.

26. b) |z+i| > |2z-1|

Условие |z + i| > |2z - 1| означает, что точка z на комплексной плоскости находится дальше от точки 0 - i, чем от точки, которая зависит от z (то есть от точки, гомотетичной z, с коэффициентом 2 и сдвигом на 1). Этот тип задач сложнее, поэтому для нахождения множества нужно преобразовать условие. Для упрощения, попробуем разложить модуль и найти взаимосвязь между реальной и мнимой частями через уравнение. Но в общем виде это тоже будет множество точек, граница которого возможно будет окружностью или гиперболой.

26. c) -2 < \text{Im}(z) < 3

Данное условие говорит, что мнимая часть комплексного числа z лежит в промежутке между -2 и 3. Это означает, что искомое множество точек представляет собой полосу на комплексной плоскости, ограниченную двумя горизонтальными прямыми:

• \text{Im}(z) = -2;
• \text{Im}(z) = 3.

Графики:

• Для пункта a будет полуплоскость, с границей — серединным перпендикуляром между точками -1 и 2i.
• Для пункта b возможно потребуется более сложный анализ, но можно ожидать, что это также будет какое-то множество точек, определяемое расстояниями до разных точек.
• Для пункта c — это будет горизонтальная полоса между прямыми \text{Im}(z) = -2 и \text{Im}(z) = 3.

Множество точек будет лежать между этими двумя прямыми, но не содержать их, так как неравенства строгое.