Может ли функция быть действительной частью аналитической функции, если да то найти f'(z)

Предмет: Комплексный анализ

Раздел: Аналитические функции

Рассмотрим пункт 2 задания. Нам дана функция действительной части:

u(x, y) = e^{-y} \cos x - x.

Необходимо определить, может ли эта функция быть действительной частью аналитической функции f(z). Если да, то найти f'(z).

Условие Коши-Римана

Для того чтобы функция u(x, y) могла быть действительной частью аналитической функции, она должна удовлетворять условиям Коши-Римана:

 \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}, 

где v(x, y) — мнимая часть аналитической функции f(z), и z = x + iy.

Шаг 1: Найдем частные производные u(x, y)

Функция u(x, y) задана как:

 u(x, y) = e^{-y} \cos x - x. 

1. Частная производная по x:  \frac{\partial u}{\partial x} = -e^{-y} \sin x - 1. 

2. Частная производная по y:  \frac{\partial u}{\partial y} = -e^{-y} \cos x. 

Шаг 2: Найдем v(x, y) из условий Коши-Римана

1. Из первого условия Коши-Римана:  \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}. 

Подставляем:  -e^{-y} \sin x - 1 = \frac{\partial v}{\partial y}. 

2. Из второго условия Коши-Римана:  \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}. 

Подставляем:  -e^{-y} \cos x = -\frac{\partial v}{\partial x},  или  \frac{\partial v}{\partial x} = e^{-y} \cos x. 

Шаг 3: Найдем v(x, y)

1. Интегрируем \frac{\partial v}{\partial x} по x:  v(x, y) = \int e^{-y} \cos x \, dx = e^{-y} \sin x + C(y),  где C(y) — произвольная функция от y.

2. Найдем C(y) из условия \frac{\partial v}{\partial y} = -e^{-y} \sin x - 1. Для этого сначала вычислим \frac{\partial v}{\partial y}:  \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(e^{-y} \sin x + C(y)\right) = -e^{-y} \sin x + C'(y). 

Приравниваем к -e^{-y} \sin x - 1:  -e^{-y} \sin x + C'(y) = -e^{-y} \sin x - 1. 

Отсюда:  C'(y) = -1. 

Интегрируем:  C(y) = -y + C_0,  где C_0 — произвольная константа.

Таким образом, мнимая часть:  v(x, y) = e^{-y} \sin x - y + C_0. 

Шаг 4: Найдем аналитическую функцию f(z)

Аналитическая функция имеет вид:  f(z) = u(x, y) + i v(x, y). 

Подставляем:  f(z) = \left(e^{-y} \cos x - x\right) + i \left(e^{-y} \sin x - y + C_0\right). 

Переходим к комплексной переменной z = x + iy. Заметим, что e^{-y} \cos x + i e^{-y} \sin x = e^{-z}. Тогда:  f(z) = e^{-z} - z + C_0. 

Шаг 5: Найдем производную f'(z)

Производная аналитической функции:  f'(z) = \frac{d}{dz} \left(e^{-z} - z + C_0\right) = -e^{-z} - 1. 

Ответ:

1. Да, функция u(x, y) = e^{-y} \cos x - x может быть действительной частью аналитической функции.
2. Аналитическая функция: f(z) = e^{-z} - z + C_0.
3. Производная: f'(z) = -e^{-z} - 1.