Контурные интегралы в комплексной плоскости

Предмет: Комплексный анализ
Раздел предмета: Контурные интегралы в комплексной плоскости

Условие задачи:

Вычислить интеграл
\int_l |z| \, dz,
где l — отрезок прямой от точки z_1 = 0 до точки z_2 = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}.

Решение:

1. Параметризация отрезка l

Пусть z(t) — параметризация отрезка l, где t \in [0, 1].
Тогда
z(t) = t \cdot z_2 = t \cdot \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}, \quad t \in [0, 1].

2. Выражение для модуля |z|

|z(t)| = |t \cdot z_2| = t \cdot |z_2| = t \cdot \sqrt{2}.

3. Дифференциал dz

z(t) = t \cdot \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}},
поэтому
\frac{dz}{dt} = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}.
Таким образом,
dz = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}} \, dt.

4. Интеграл

Подставим параметризацию в интеграл:
\int_l |z| \, dz = \int_0^1 |z(t)| \cdot \frac{dz}{dt} \, dt = \int_0^1 \left(t \sqrt{2}\right) \cdot \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}} \, dt.

Сгруппируем константы:
\int_l |z| \, dz = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}} \int_0^1 t \, dt = 2 e^{i\frac{\pi}{4}} \int_0^1 t \, dt.

Вычислим интеграл по t:
\int_0^1 t \, dt = \left[\frac{t^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}.

Подставим результат:
\int_l |z| \, dz = 2 e^{i\frac{\pi}{4}} \cdot \frac{1}{2} = e^{i\frac{\pi}{4}}.

Ответ:

\int_l |z| \, dz = e^{i\frac{\pi}{4}}.