Изобразить на комплексной плоскости множество чисел, удовлетворяющих данному условию

Определение предмета и его раздела

Данное задание относится к комплексному анализу, к разделу комплексных чисел, а конкретнее — к геометрической интерпретации комплексных чисел на комплексной плоскости.

Пояснение задания

Задано неравенство: \[ \frac{\pi}{4} \leq \arg(z - 1) \leq \frac{\pi}{2}. \] Нужно изобразить множество комплексных чисел, для которых выполняется это неравенство.

Шаг 1: Геометрическая интерпретация

Мы рассматриваем комплексное число \( z \), и нам необходимо изучить углы аргумента выражения \( z - 1 \). Аргумент комплексного числа \(z - 1\) — это угол, на который нужно повернуться против часовой стрелки от положительной вещественной оси, чтобы достичь комплекса \( z - 1 \).

Общий разбор

Неравенство описывает угол аргумента точки \( z - 1 \) относительно точки \( 1 \) на комплексной плоскости.

• \( z - 1 \) означает, что нужно переместить начало координат в точку \(1\) на вещественной оси (в направление вправо).
• Затем, аргумент \( \arg(z - 1) \) — это угол относительно нового начала координат.

Условие \[ \frac{\pi}{4} \leq \arg(z - 1) \leq \frac{\pi}{2} \] означает, что требуемые точки располагаются в пределах угла \( \frac{\pi}{4} \) и \( \frac{\pi}{2} \), выходя из точки \(1+0i\) (на комплексной плоскости это точка \(1\) на вещественной оси).

Шаг 2: Построение

Комплексное число можно параметризировать точками на комплексной плоскости. Так как аргумент задаёт угол, нам нужно нарисовать область, которая создаётся двумя лучами:

1. Первый луч имеет угол \( \frac{\pi}{4} \), это прямая, которая выходит из точки \( z = 1 \) под углом \( \frac{\pi}{4} \) (45 градусов).
2. Второй луч имеет угол \( \frac{\pi}{2} \), это вертикальная прямая, выходящая из точки \( z = 1 \), направленная вверх.

Точки, удовлетворяющие условию, будут лежать внутри секторного угла между этими двумя лучами.

Шаг 3: Окончательный результат

На комплексной плоскости результатом будет:

• Точка \( z = 1 \) на вещественной оси.
• Множество всех точек, которые находятся в пределах между направлениями \( \frac{\pi}{4} \) (левая граница, 45 градусов) и \( \frac{\pi}{2} \) (правая граница, вертикальная линия, 90 градусов).

Графическое изображение

1. Сначала наносим точку \( z = 1 \).
2. Рисуем из этой точки луч под углом \( \frac{\pi}{4} \).
3. Затем вертикальную линию, представляющую угол \( \frac{\pi}{2} \).
4. Штрихуем область между этими двумя лучами.

Итог

Множество точек, удовлетворяющих данному неравенству, образует сектор между этими двумя лучами с вершиной в точке \( z = 1 \) и распространяется на всю область внутри этих границ.