Исследовать функцию на аналитичность

Задание относится к разделу комплексного анализа, который является подразделом математического анализа, изучающего аналитические функции комплексной переменной.

Функция $\text{(}f(z)=\overline{z^2}\cdot \overline{z}+\mathrm{I}\mathrm{m}(7e^{8i})\text{)}$, где $\text{(}z\text{)}$ — комплексное число, и $\text{(}\overline{z}\text{)}$ обозначает комплексное сопряжение числа $\text{(}z\text{)}$, $\text{(}\mathrm{I}\mathrm{m}\text{)}$ обозначает оператор взятия мнимой части.

Шаг 1: Проверка аналитичности функции $\text{(}f(z)\text{)}$

Аналитическая функция $\text{(}f(z)\text{)}$ в комплексной плоскости должна удовлетворять условию Коши-Римана, т.е. функции $\text{(}u(x,y)\text{)}$ и $\text{(}v(x,y)\text{)}$, где $\text{(}f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\text{)}$, должны удовлетворять уравнениям:

• $\text{[}{u}_x=v_y\text{]}$
• $\text{[}{u}_y=-v_x\text{]}$

Где $\text{(}{u}_x\text{)}$ и $\text{(}{u}_y\text{)}$ — частные производные функции $\text{(}u(x,y)\text{)}$ по $\text{(}x\text{)}$ и $\text{(}y\text{)}$ соответственно, аналогично $\text{(}{v}_x\text{)}$ и $\text{(}{v}_y\text{)}$.

1. Пусть $\text{(}z=x+iy\text{)}$, тогда $\text{(}\overline{z}=x-iy\text{)}$.
2. Посчитаем $\text{(}\overline{z^2}=\overline{(x+iy{)}^2}=\overline{x^2-y^2+2ixy}=x^2-y^2-2ixy\text{)}$.

Теперь функция принимает вид: $\text{[}f(z)=(x^2-y^2-2ixy)\cdot (x-iy)+\mathrm{I}\mathrm{m}(7e^{8i})\text{]}$

Используем формулу Эйлера $\text{(}{e}^{i\theta }=\cos (\theta )+i\sin (\theta )\text{)}$: $\text{[}{e}^{8i}=\cos (8)+i\sin (8)\text{]}$ $\text{[}\mathrm{I}\mathrm{m}(7e^{8i})=7\sin (8)\text{]}$

Итак: $\text{[}f(z)=(x^2-y^2-2ixy)(x-iy)+7\sin (8)\text{]}$

Раскроем скобки:

• $\text{[}f(z)=x^3-x{y}^2-i{x}^{2}y+ix{y}^2+2x{y}^2+7\sin (8)\text{]}$
• $\text{[}f(z)=x^3-x{y}^2+i{x}^{2}y+x{y}^2+7\sin (8)\text{]}$
• $\text{[}f(z)=x^3-x{y}^2+7\sin (8)+i(2x{y}^2)\text{]}$

Итак, $\text{(}u(x,y)=x^3-x{y}^2+7\sin (8)\text{)}$ и $\text{(}v(x,y)=2x{y}^2\text{)}$. Проверим уравнения Коши-Римана: $\text{[}{u}_x=3x^2-y^2,v_y=4xy\text{]}$ $\text{[}{u}_y=-2xy,v_x=4xy\text{]}$

Условие Коши-Римана не выполняется ($\text{(}3x^2-y^2\ne 4xy\text{)}$ и $\text{(}-2xy\ne -4xy\text{)}$), значит, функция $\text{(}f(z)\text{)}$ не аналитична.

Шаг 2: Вычисление $\text{(}\mathrm{I}\mathrm{m}f(-i)\text{)}$

Подставим $\text{(}z=-i\text{)}$:

• $\text{[}\overline{(-i{)}^2}\cdot \overline{(-i)}+7\sin (8)\text{]}$
• $\text{[}\overline{(-1)}\cdot (i)+7\sin (8)\text{]}$
• $\text{[}(-1)\cdot (-i)+7\sin (8)\text{]}$
• $\text{[}i+7\sin (8)\text{]}$

Итак: $\text{[}\mathrm{I}\mathrm{m}f(-i)=1+7\sin (8)\text{]}$

Ответ: Если функция не аналитична, то $\text{(}\mathrm{I}\mathrm{m}f(-i)=1+7\sin (8)\text{)}$.