Исследовать функцию на аналитичность

Задание относится к разделу комплексного анализа, который является подразделом математического анализа, изучающего аналитические функции комплексной переменной.

Функция \( f(z) = \overline{z^2} \cdot \overline{z} + \mathrm{Im}(7e^{8i}) \), где \( z \) — комплексное число, и \( \overline{z} \) обозначает комплексное сопряжение числа \( z \), \( \mathrm{Im} \) обозначает оператор взятия мнимой части.

Шаг 1: Проверка аналитичности функции \( f(z) \)

Аналитическая функция \( f(z) \) в комплексной плоскости должна удовлетворять условию Коши-Римана, т.е. функции \( u(x, y) \) и \( v(x, y) \), где \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \), должны удовлетворять уравнениям:

• \[ u_x = v_y \]
• \[ u_y = -v_x \]

Где \( u_x \) и \( u_y \) — частные производные функции \( u(x, y) \) по \( x \) и \( y \) соответственно, аналогично \( v_x \) и \( v_y \).

1. Пусть \( z = x + iy \), тогда \( \overline{z} = x - iy \).
2. Посчитаем \( \overline{z^2} = \overline{(x + iy)^2} = \overline{x^2 - y^2 + 2ixy} = x^2 - y^2 - 2ixy \).

Теперь функция принимает вид: \[ f(z) = (x^2 - y^2 - 2ixy) \cdot (x - iy) + \mathrm{Im}(7e^{8i}) \]

Используем формулу Эйлера \( e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta) \): \[ e^{8i} = \cos(8) + i\sin(8) \] \[ \mathrm{Im}(7e^{8i}) = 7 \sin(8) \]

Итак: \[ f(z) = (x^2 - y^2 - 2ixy)(x - iy) + 7 \sin(8) \]

Раскроем скобки:

• \[ f(z) = x^3 - xy^2 - ix^2y + ixy^2 + 2xy^2 + 7\sin(8) \]
• \[ f(z) = x^3 - xy^2 + ix^2y + xy^2 + 7\sin(8) \]
• \[ f(z) = x^3 - xy^2 + 7\sin(8) + i(2xy^2) \]

Итак, \( u(x, y) = x^3 - xy^2 + 7\sin(8) \) и \( v(x, y) = 2xy^2 \). Проверим уравнения Коши-Римана: \[ u_x = 3x^2 - y^2, \quad v_y = 4xy \] \[ u_y = -2xy, \quad v_x = 4xy \]

Условие Коши-Римана не выполняется (\( 3x^2 - y^2 \neq 4xy \) и \( -2xy \neq -4xy \)), значит, функция \( f(z) \) не аналитична.

Шаг 2: Вычисление \( \mathrm{Im} f(-i) \)

Подставим \( z = -i \):

• \[ \overline{(-i)^2} \cdot \overline{(-i)} + 7 \sin(8) \]
• \[ \overline{(-1)} \cdot (i) + 7 \sin(8) \]
• \[ (-1) \cdot (-i) + 7 \sin(8) \]
• \[ i + 7 \sin(8) \]

Итак: \[ \mathrm{Im} f(-i) = 1 + 7 \sin(8) \]

Ответ: Если функция не аналитична, то \( \mathrm{Im} f(-i) = 1 + 7 \sin(8) \).