Используя основную теорему Коши и интегральную функцию Коши, вычислить интеграл

Это задание относится к предмету "Комплексный анализ", раздел "Интегральные теоремы в комплексном анализе".

Мы имеем интеграл по замкнутому контуру: ∮ (2z - 1 - i) / ((z - 1)(z - i)) dz, где контур Γ: |z| = 2 — это окружность радиуса 2.

Особые точки

Сначала определим, какие особые точки есть у подынтегральной функции. Способ нахождения особых точек заключается в приравнивании знаменателя дроби к нулю: (z - 1)(z - i) = 0. Следовательно:

• Особые точки: z = 1 и z = i.

Обе особые точки находятся внутри контура |z| = 2, так как абсолютные значения их радиусов (1 и √2 соответственно) меньше 2.

Вычисление интеграла

Для вычисления данного интеграла воспользуемся основной теоремой Коши о вычетах. По этой теореме, если функция аналитична на замкнутом контуре и внутри него, то:

∮ f(z) dz = 2πi ∑ Res(f, z_k),

где сумма берется по всем особым точкам внутри контура, а Res(f, z_k) — вычет функции в точке z_k.

Вычеты

1. Для z = 1:

   Вычет Res(f, 1) = lim (z → 1) [(z - 1) * (2z - 1 - i) / ((z - 1)(z - i))].

   Res(f, 1) = lim (z → 1) [(2z - 1 - i) / (z - i)].

   Подставляя z = 1, получаем: (2*1 - 1 - i) / (1 - i) = (1 - i) / (1 - i). Здесь нужно упростить выражение: (1 - i) / (1 - i) = 1.

2. Для z = i:

   Вычет Res(f, i) = lim (z → i) [(z - i) * (2z - 1 - i) / ((z - 1)(z - i))].

   Res(f, i) = lim (z → i) [(2z - 1 - i) / (z - 1)].

   Подставляя z = i, получаем: (2i - 1 - i) / (i - 1) = (i - 1) / (i - 1). Здесь также получается: (i - 1) / (i - 1) = 1.

Применим теорему Коши

Таким образом, значение интеграла вычисляется как: ∮ (2z - 1 - i) / ((z - 1)(z - i)) dz = 2πi (1 + 1) = 4πi.

Ответ: значение данного интеграла равно 4πi.

Изображение контура интегрирования

Контур Γ — это окружность радиуса 2 с центром в начале координат (0, 0).

Особые точки:

• z = 1 соответствует координате (1, 0).
• z = i соответствует координате (0, 1).

Обе точки находятся внутри окружности радиуса 2, что уже было установлено.