Используя основную теорему Коши и интегральную формулу Коши,вычислить интегралы

Предмет: Комплексный анализ. Раздел: Интегральные теоремы в комплексном анализе.

Чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся интегральной формулой Коши и основными свойствами вычетов. Интеграл задан по замкнутому контуру вокруг точки \( z = 2 \).

1. Подынтегральная функция:

\[ f(z) = \frac{e^z}{(z^2 + 4)^2} \]

2. Особые точки:

Рассмотрим функцию \( (z^2 + 4)^2 \). Корни уравнения \( z^2 + 4 = 0 \) равны \( z = 2i \) и \( z = -2i \). Однако оба корня не находятся в пределах контура \( |z - 2| = 1 \), так как модуль от точки \( 2i \) и \( -2i \) до точки \( z = 2 \) составляют более 1. Соответственно, на контуре особых точек нет, и договорка в задании не нужна.

3. Вычисление интеграла:

Функция аналитична внутри контура, и по теореме Коши для аналитичной функции интеграл по замкнутому контуру равен \( 0 \). Таким образом, значение интеграла:

\[ \int_{|z-2|=1} \frac{e^z}{(z^2 + 4)^2} \, dz = 0 \]

4. Изображение:

На декартовой системе нужно отметить контур окружности с центром в \( z = 2 \) и радиусом 1. На этом рисунке не будет особых точек внутри контура, так как точки \( z = 2i \) и \( z = -2i \) находятся вне контура \( |z - 2| = 1 \).