Интегралы от функций комплексного переменного

Определение предмета и раздела:

Предмет: Комплексный анализ
Раздел: Интегралы от функций комплексного переменного

Решение:

Дан контурный интеграл:

 \int\limits_{AB} (2x+1) dz 

Контур AB задан параметрически:

 y = x^3, \quad z_A = 0, \quad z_B = 1 + i 

Поскольку z = x + iy, подставим y = x^3:

 z = x + i x^3 

Диапазон изменения x определяется из граничных условий:

• В точке A: z_A = 0, то есть x = 0.
• В точке B: z_B = 1 + i, значит x = 1.

Теперь найдём dz:

 dz = \frac{d}{dx} (x + i x^3) dx = (1 + i 3x^2) dx 

Подставим в интеграл:

 \int\limits_0^1 (2x + 1)(1 + i 3x^2) dx 

Раскроем скобки:

 \int\limits_0^1 \left( (2x+1) + i(6x^3 + 3x^2) \right) dx 

Разделим на вещественную и мнимую части:

 \int\limits_0^1 (2x+1) dx + i \int\limits_0^1 (6x^3 + 3x^2) dx 

Рассчитаем первый интеграл:

 \int (2x+1) dx = x^2 + x \Big|_0^1 = (1 + 1) - (0 + 0) = 2 

Рассчитаем второй интеграл:

 \int (6x^3 + 3x^2) dx = \frac{6x^4}{4} + \frac{3x^3}{3} \Big|_0^1 

 = \left(\frac{6}{4} \cdot 1^4 + 1^3 \right) - \left(\frac{6}{4} \cdot 0^4 + 0^3 \right) 

 = \left(\frac{3}{2} + 1\right) = \frac{5}{2} 

Таким образом:

 \int\limits_{AB} (2x+1) dz = 2 + i \frac{5}{2} 

Ответ:

 2 + \frac{5}{2} i