Интегральные теоремы в комплексном анализе (формула Коши, теорема о вычетах)

Предмет: Комплексный анализ

Раздел: Интегральные теоремы в комплексном анализе (формула Коши, теорема о вычетах)

Рассмотрим по отдельности каждый из интегралов.

Решение пункта (а)

Дан контурный интеграл:

 \oint_{|z+3|=2} \frac{\cos(z/2)}{z^2 - 4} dz. 

Шаг 1: Найдем особые точки

Знаменатель раскладывается на множители:

 z^2 - 4 = (z - 2)(z + 2). 

Таким образом, особые точки (полюса) находятся в:

 z = \pm 2. 

Контур |z+3|=2 — это окружность с центром в z = -3 и радиусом 2. Проверим, какие из особых точек попадают внутрь этой окружности:

• z = -2: |-2 + 3| = 1 (внутри контура).
• z = 2: |2 + 3| = 5 (вне контура).

Следовательно, внутри контура находится единственный полюс z = -2.

Шаг 2: Вычислим вычет в z = -2

Функцию можно представить в виде:

 f(z) = \frac{\cos(z/2)}{(z - 2)(z + 2)}. 

Вычет в точке z = -2 определяется как:

 \text{Res}(f, -2) = \lim_{z \to -2} (z + 2) f(z). 

Подставим:

 \text{Res}(f, -2) = \lim_{z \to -2} \frac{\cos(z/2)}{z - 2}. 

Подставляя z = -2 в числитель:

 \cos(-2/2) = \cos(-1) = \cos 1. 

Следовательно,

 \text{Res}(f, -2) = \frac{\cos 1}{-4} = -\frac{\cos 1}{4}. 

Шаг 3: Применение теоремы о вычетах

По теореме о вычетах:

 \oint_{|z+3|=2} \frac{\cos(z/2)}{z^2 - 4} dz = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, -2). 

Подставляем найденный вычет:

 \oint_{|z+3|=2} \frac{\cos(z/2)}{z^2 - 4} dz = 2\pi i \cdot \left(-\frac{\cos 1}{4}\right) = -\frac{2\pi i \cos 1}{4} = -\frac{\pi i \cos 1}{2}. 

Ответ для пункта (а):
 -\frac{\pi i \cos 1}{2}. 

Решение пункта (б)

Дан интеграл:

 \oint_{|z|=1} \frac{z e^z - z - 1}{z^3} dz. 

Шаг 1: Разложение в ряд Лорана

Перепишем дробь:

 \frac{z e^z - z - 1}{z^3} = \frac{z (e^z - 1) - 1}{z^3}. 

Рассмотрим разложение экспоненты в ряд Тейлора:

 e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \dots 

Тогда:

 e^z - 1 = z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \dots. 

Умножаем на z:

 z (e^z - 1) = z^2 + \frac{z^3}{2!} + \frac{z^4}{3!} + \dots. 

Теперь подставляем в дробь:

 \frac{z^2 + \frac{z^3}{2!} + \frac{z^4}{3!} + \dots - 1}{z^3}. 

Разделим каждый член на z^3:

 \frac{z^2}{z^3} + \frac{z^3}{2! z^3} + \frac{z^4}{3! z^3} + \dots - \frac{1}{z^3} = z^{-1} + \frac{1}{2!} + \frac{z}{3!} + \dots - z^{-3}. 

Шаг 2: Найдем вычет

Вычет — это коэффициент при z^{-1} в разложении:

 \text{Res}(f, 0) = 1. 

Шаг 3: Применение теоремы о вычетах

По теореме о вычетах:

 \oint_{|z|=1} f(z) dz = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, 0) = 2\pi i. 

Ответ для пункта (б):
 2\pi i.