Интегральные теоремы Коши, вычисление контурных интегралов

Предмет: Комплексный анализ

Раздел: Интегральные теоремы Коши, вычисление контурных интегралов

Дан интеграл:
\oint_{\gamma} \frac{e^z}{(z-2)^2} dz,
где \gamma — окружность |z| = 1.

Решение:

Этот контурный интеграл можно вычислить, используя интегральную формулу Коши для производных:

 f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}} dz. 

В данном случае:

• f(z) = e^z,
• a = 2,
• n = 1 (так как в знаменателе (z-2)^2).

Формула Коши для первой производной даёт:

 \oint_{\gamma} \frac{e^z}{(z-2)^2} dz = 2\pi i \cdot f'(2). 

Находим производную:

 f'(z) = e^z. 

Следовательно,

 f'(2) = e^2. 

Подставляем:

 \oint_{\gamma} \frac{e^z}{(z-2)^2} dz = 2\pi i e^2. 

Ответ:

\oint_{\gamma} \frac{e^z}{(z-2)^2} dz = 2\pi i e^2.