Интегральные формулы Коши и теорема о вычетах

Предмет: Комплексный анализ

Раздел: Интегральные формулы Коши и теорема о вычетах

Рассмотрим вычисление данных контурных интегралов, используя теорему Коши о вычетах.

Решение пункта (а)

Дан контурный интеграл:

 \oint_{|z+2|=3} \frac{e^z dz}{z^2 (z^2 - 9)} 

1. Найдём особые точки

Разложим знаменатель:

 z^2 (z^2 - 9) = z^2 (z - 3)(z + 3) 

Особые точки — это нули знаменателя:

 z = 0, \quad z = 3, \quad z = -3 

Контур |z+2|=3 — это круг с центром в z=-2 и радиусом 3. Проверим, какие особые точки попадают внутрь:

• z=0 (находится внутри круга, так как |0+2| = 2 < 3)
• z=-3 (находится внутри круга, так как |-3+2| = 1 < 3)
• z=3 (находится вне круга, так как |3+2| = 5 > 3)

Значит, внутри контура находятся особые точки z = 0 и z = -3.

2. Вычислим вычеты в особых точках

Функция имеет особые точки:

• z = 0 — полюс второго порядка
• z = -3 — полюс первого порядка

Вычет в z = -3:

Рассмотрим выражение:

 \frac{e^z}{z^2 (z - 3)(z + 3)} 

Вычет в z = -3 можно найти по формуле:

 \text{Res}(f, -3) = \lim_{z \to -3} (z + 3) \frac{e^z}{z^2 (z - 3)(z + 3)} 

Сокращая (z+3), получаем:

 \text{Res}(f, -3) = \lim_{z \to -3} \frac{e^z}{z^2 (z - 3)} 

Подставляя z = -3:

 \text{Res}(f, -3) = \frac{e^{-3}}{(-3)^2 (-3 - 3)} = \frac{e^{-3}}{9 \cdot (-6)} = -\frac{e^{-3}}{54} 

Вычет в z = 0 (полюс второго порядка):

Формула для вычета в полюсе второго порядка:

 \text{Res}(f, 0) = \lim_{z \to 0} \frac{d}{dz} \left( z^2 \frac{e^z}{z^2 (z^2 - 9)} \right) 

Сокращая z^2, получаем:

 \text{Res}(f, 0) = \lim_{z \to 0} \frac{d}{dz} \left( \frac{e^z}{z^2 - 9} \right) 

Производная:

 \frac{d}{dz} \left( \frac{e^z}{z^2 - 9} \right) = \frac{e^z (z^2 - 9) - e^z \cdot 2z}{(z^2 - 9)^2} 

Подставляя z = 0:

 \text{Res}(f, 0) = \frac{e^0 (-9)}{(-9)^2} = -\frac{1}{9} 

3. Вычисляем интеграл

По теореме о вычетах:

 \oint f(z) dz = 2\pi i \sum \text{Res} 

 \oint f(z) dz = 2\pi i \left( -\frac{e^{-3}}{54} - \frac{1}{9} \right) 

Приведём к общему знаменателю:

 \oint f(z) dz = 2\pi i \left( -\frac{e^{-3}}{54} - \frac{6}{54} \right) 

 \oint f(z) dz = 2\pi i \left( -\frac{e^{-3} + 6}{54} \right) 

Ответ:
 \oint f(z) dz = -\frac{2\pi i (e^{-3} + 6)}{54} 

Решение пункта (б)

Дан контурный интеграл:

 \oint_{|z|=1} \frac{e^{2z} - z}{z^2} dz 

1. Найдём особые точки

Знаменатель z^2 даёт особую точку z=0 (полюс второго порядка).

2. Найдём вычет в z=0

Функция имеет полюс второго порядка, значит, используем формулу:

 \text{Res}(f, 0) = \lim_{z \to 0} \frac{d}{dz} \left( z^2 \frac{e^{2z} - z}{z^2} \right) 

Сокращая z^2, получаем:

 \text{Res}(f, 0) = \lim_{z \to 0} \frac{d}{dz} (e^{2z} - z) 

Берём производную:

 \frac{d}{dz} (e^{2z} - z) = 2e^{2z} - 1 

Подставляем z=0:

 \text{Res}(f, 0) = 2e^0 - 1 = 2 - 1 = 1 

3. Вычисляем интеграл

По теореме о вычетах:

 \oint f(z) dz = 2\pi i \sum \text{Res} 

Так как внутри контура только один вычет:

 \oint f(z) dz = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i 

Ответ:
 \oint f(z) dz = 2\pi i