Геометрическое представление комплексных чисел

Предмет: Комплексный анализ

Раздел: Геометрическое представление комплексных чисел

Рассмотрим каждую из систем неравенств по отдельности.

Часть (а)

Дано:
 \begin{cases} |z - 1 - i| < 1, \ |\arg z| \leq \frac{\pi}{4}. \end{cases} 

1. Первое неравенство
   |z - 1 - i| < 1
   Это означает, что комплексное число z находится внутри круга радиуса 1 с центром в точке (1,1).

2. Второе неравенство
   |\arg z| \leq \frac{\pi}{4}
   Это означает, что z находится в угловом секторе с вершиной в начале координат и углом \frac{\pi}{4} в обе стороны от оси абсцисс.

Геометрическая интерпретация:
Областью является пересечение круга радиуса 1 с центром в (1,1) и углового сектора |\arg z| \leq \frac{\pi}{4}.

Часть (б)

Дано:
 \begin{cases} \sqrt{1 + (\operatorname{Re} z)^2} \geq \operatorname{Im} z, \ |\operatorname{Re} z| < 2. \end{cases} 

1. Первое неравенство
   \sqrt{1 + (\operatorname{Re} z)^2} \geq \operatorname{Im} z
   Возведем обе части в квадрат:
   1 + (\operatorname{Re} z)^2 \geq (\operatorname{Im} z)^2
   Это уравнение окружности:
   (\operatorname{Re} z)^2 - (\operatorname{Im} z)^2 \geq -1
   или
   (\operatorname{Re} z)^2 + 1 \geq (\operatorname{Im} z)^2
   Это означает, что z находится под гиперболической кривой.

2. Второе неравенство
   |\operatorname{Re} z| < 2
   Это означает, что z находится между вертикальными прямыми \operatorname{Re} z = -2 и \operatorname{Re} z = 2.

Геометрическая интерпретация:
Областью является пересечение полосы -2 < \operatorname{Re} z < 2 и области, находящейся под гиперболической кривой \operatorname{Im} z \leq \sqrt{1 + (\operatorname{Re} z)^2}.

Вывод:

Для каждой из частей построенная область — это пересечение двух геометрических фигур: круга и сектора (в части а) и гиперболической кривой с вертикальной полосой (в части б).