Доказать sin iz=i sh z

Это задание относится к предмету математика, а именно разделу комплексный анализ, который изучает функции комплексных переменных.

Задание:

Доказать, что $\text{(}\sin (iz)=i\sinh (z)\text{)}$.

Обозначения:

• $\text{(}\sin (z)\text{)}$ — синус от комплексного числа $\text{(}z\text{)}$,
• $\text{(}\sinh (z)\text{)}$ — гиперболический синус от $\text{(}z\text{)}$.

Необходимые факты:

1. Синус комплексного числа $\text{(}z=x+iy\text{)}$ (где $\text{(}x\text{)}$ и $\text{(}y\text{)}$ — действительные значения) можно определить через экспоненту:
   $\text{[}\sin (z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}.\text{]}$
2. Гиперболический синус $\text{(}z\text{)}$ определяется как:
   $\text{[}\sinh (z)=\frac{e^z-e^{-z}}{2}.\text{]}$

Теперь докажем, что $\text{(}\sin (iz)=i\sinh (z)\text{)}$.

Шаг 1: Выразим синус от $\text{(}iz\text{)}$ через экспоненты

Исходя из определения синуса через экспоненты:

Заметим, что:

поэтому у нас получится:

Можем переписать это выражение как:

Знаем, что числитель — это просто отрицательное выражение гиперболического синуса:

Шаг 2: Вынесем $\text{(}i\text{)}$

Теперь можно заметить, что:

А это точно определение гиперболического синуса:

Вывод:

Мы доказали, что:

Таким образом, задание выполнено и доказательство завершено.