Доказать sin iz=i sh z

Это задание относится к предмету математика, а именно разделу комплексный анализ, который изучает функции комплексных переменных.

Задание:

Доказать, что \(\sin(iz) = i \sinh(z)\).

Обозначения:

• \( \sin(z) \) — синус от комплексного числа \(z\),
• \( \sinh(z) \) — гиперболический синус от \(z\).

Необходимые факты:

1. Синус комплексного числа \(z = x + iy\) (где \(x\) и \(y\) — действительные значения) можно определить через экспоненту:
   \[ \sin(z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}. \]
2. Гиперболический синус \(z\) определяется как:
   \[ \sinh(z) = \frac{e^z - e^{-z}}{2}. \]

Теперь докажем, что \(\sin(iz) = i \sinh(z)\).

Шаг 1: Выразим синус от \(iz\) через экспоненты

Исходя из определения синуса через экспоненты:

Заметим, что:

поэтому у нас получится:

Можем переписать это выражение как:

Знаем, что числитель — это просто отрицательное выражение гиперболического синуса:

Шаг 2: Вынесем \(i\)

Теперь можно заметить, что:

А это точно определение гиперболического синуса:

Вывод:

Мы доказали, что:

Таким образом, задание выполнено и доказательство завершено.