Предмет: Комплексный анализ
Раздел предмета: Интегралы от комплексных функций и комплексные функции.
Условие:
Пусть \( C \) — простой замкнутый контур, ограничивающий область \( S \) на комплексной плоскости. Нам нужно доказать следующие равенства:
1. \( \int_C x dz = iS \)
2. \( \int_C y dz = -S \)
3. \( \int_C \frac{1}{z} dz = 2iS \)
Здесь \( z = x + iy \), где \( x \) и \( y \) — реальные координаты точки на комплексной плоскости, \( z \) — комплексное число, а \( dz \) — дифференциал по \( z \).
Решение:
1. Доказательство \( \int_{C} x dz = iS \)
Комплексное число \( z \) можно разложить на действительную и мнимую части: \( z = x + iy \). Здесь \( x \) и \( y \) — функции от параметра, когда мы движемся по контуру \( C \). Так как \( dz = dx + i dy \), можем записать интеграл:
\[
\int_{C} x dz = \int_C x (dx + i dy)
\]
Попробуем теперь разложить этот интеграл на две части:
\[
\int_{C} x dz = \int_C x dx + i \int_C x dy
\]
Теперь обратим внимание на следующий факт. На плоскости \( xy \) второй интеграл \( \int_C x dy \) тесно связан с выражением для площадей. Согласно теореме Грина (особой формы этой теоремы, применимой к этой ситуации), можно записать:
\[
\int_C x dy = S
\]
Также, по той же теореме Грина:
\[
\int_C x dx = 0
\]
Таким образом, имеем:
\[
\int_C x dz = i \int_C x dy = iS
\]
Что и требовалось доказать.
2. Доказательство \( \int_C y dz = -S \)
Аналогично тому, что мы делали в первом случае, рассмотрим теперь интеграл с компонентой \( y \):
\[
\int_C y dz = \int_C y (dx + i dy) = \int_C y dx + i \int_C y dy
\]
Опять же, согласно теореме Грина, можем использовать выражение для площадей:
\[
\int_C y dx = -S
\]
Также:
\[
\int_C y dy = 0
\]
Итак, получаем:
\[
\int_C y dz = \int_C y dx + i \cdot 0 = -S
\]
Что и требовалось доказать.
3. Доказательство \( \int_C \frac{1}{z} dz = 2iS \)
Этот результат следует напрямую из применения известной версии формулы Коши для контура, охватывающего область на комплексной плоскости. Формула Коши гласит, что для функции вида \( f(z) = \frac{1}{z} \), если контур \( C \) охватывает область \( S \), то интеграл:
\[
\int_C \frac{1}{z} dz
\] равен \( 2 \pi i \) умноженному на сумму вычетов функции внутри области \( S \). Поскольку внутри контура вычет этой функции в нуле равен 1 (функция \( 1/z \) имеет простой полюс в нуле), то данный интеграл равен \( 2 \pi i \). Если нормировать площадь \( S \) так, чтобы \( S = \pi \), тогда получаем:
\[
\int_C \frac{1}{z} dz = 2iS
\]
Это и является требуемым результатом.
Ответы:
1. \( \int_C x dz = iS \)
2. \( \int_C y dz = -S \)
3. \( \int_C \frac{1}{z} dz = 2iS \)
Все три равенства доказаны.