Доказать, что функция w = z Re z дифференцируема только в точке z= 0; найти w'(0).

Предмет: Комплексный анализ

Раздел: Дифференцируемость комплексных функций

Задание: Доказать, что функция $\text{(}w(z)=z\mathrm{\Re }(z)\text{)}$ дифференцируема только в точке $\text{(}z=0\text{)}$ и найти $\text{(}{w}^{\prime }(0)\text{)}$.

Решение:

Шаг 1: Представляем функцию через вещественные и мнимые части

Пусть $\text{(}z\in \mathbb{C}\text{)}$ – комплексное число, которое можно записать в виде: $\text{[}z=x+iy,\text{]}$ где $\text{(}x=\mathrm{\Re }(z)\text{)}$ — вещественная часть, а $\text{(}y=\mathrm{\Im }(z)\text{)}$ — мнимая часть.

Теперь выразим функцию $\text{(}w(z)\text{)}$. Учитывая, что $\text{(}\mathrm{\Re }(z)=x\text{)}$, функция $\text{(}w(z)\text{)}$ записывается как: $\text{[}w(z)=z\mathrm{\Re }(z)=(x+iy)x=x^2+ixy.\text{]}$ Таким образом, мы представили функцию $\text{(}w(z)\text{)}$ через вещественные и мнимые части $\text{(}z\text{)}$.

Здесь: $\text{[}w(z)=u(x,y)+iv(x,y),\text{]}$ где: $\text{[}u(x,y)=x^2\text{(вещественная часть)},\text{]}$ $\text{[}v(x,y)=xy\text{(мнимая часть)}.\text{]}$

Шаг 2: Проверка на выполнение условий Коши-Римана

Для того чтобы функция была дифференцируема в точке, она должна удовлетворять условиям Коши-Римана. Условия Коши-Римана для комплексно-дифференцируемой функции $\text{(}w(z)=u(x,y)+iv(x,y)\text{)}$ имеют вид: $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}=\frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }y}\text{и}\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }y}=-\frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }x}.\text{]}$ Вычислим частные производные для функции $\text{(}u(x,y)=x^2\text{)}$ и $\text{(}v(x,y)=xy\text{)}$.

Для $\text{(}u(x,y)=x^2\text{)}$: $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}=2x,\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }y}=0.\text{]}$ Для $\text{(}v(x,y)=xy\text{)}$: $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }x}=y,\frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }y}=x.\text{]}$

Теперь проверим выполнение условий Коши-Римана: 1) Условие: $\text{(}\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}=2x\text{)}$ и $\text{(}\frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }y}=x\text{)}$. Эти частные производные совпадают только в случае, если $\text{(}x=0\text{)}$. 2) Условие: $\text{(}\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }y}=0\text{)}$ и $\text{(}-\frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }x}=-y\text{)}$. Эти частные производные совпадают только в случае, если $\text{(}y=0\text{)}$. Таким образом, одновременно оба условия Коши-Римана выполняются только в точке $\text{(}z=0\text{)}$, то есть для $\text{(}z=x+iy=0\text{)}$ (где $\text{(}x=0\text{)}$ и $\text{(}y=0\text{)}$).

Шаг 3: Поиск производной $\text{(}{w}^{\prime }(z)\text{)}$ в точке $\text{(}z=0\text{)}$

Теперь вычислим производную $\text{(}{w}^{\prime }(z)\text{)}$ в точке $\text{(}z=0\text{)}$. Напомним, что производная $\text{(}{w}^{\prime }(z)\text{)}$ в точке $\text{(}{z}_0\text{)}$ определяется как: $\text{[}{w}^{\prime }(z_0)=\underset{z\to z_0}{lim}\frac{w(z)-w(z_0)}{z-z_0}.\text{]}$ В нашем случае $\text{(}{z}_0=0\text{)}$, и тогда: $\text{[}{w}^{\prime }(0)=\underset{z\to 0}{lim}\frac{w(z)-w(0)}{z}.\text{]}$

Так как $\text{(}w(0)=0\text{)}$, получаем: $\text{[}{w}^{\prime }(0)=\underset{z\to 0}{lim}\frac{w(z)}{z}.\text{]}$ Ранее мы нашли, что $\text{(}w(z)=x^2+ixy\text{)}$, то есть: $\text{[}w(z)=z\mathrm{\Re }(z)=zx=(x+iy)x=x^2+ixy.\text{]}$

Теперь разделим выражение $\text{(}w(z)=x^2+ixy\text{)}$ на $\text{(}z=x+iy\text{)}$: $\text{[}\frac{w(z)}{z}=\frac{x^2+ixy}{x+iy}.\text{]}$ При $\text{(}z\to 0\text{)}$ (то есть при $\text{(}x\to 0\text{)}$ и $\text{(}y\to 0\text{)}$), это выражение стремится к 0. Следовательно, производная в точке $\text{(}z=0\text{)}$ будет равна: $\text{[}{w}^{\prime }(0)=0.\text{]}$

Ответ:

1. Функция $\text{(}w(z)=z\mathrm{\Re }(z)\text{)}$ дифференцируема только в точке $\text{(}z=0\text{)}$.
2. $\text{(}{w}^{\prime }(0)=0\text{)}$.