Доказать, что функция w = z Re z дифференцируема только в точке z= 0; найти w'(0).

Предмет: Комплексный анализ

Раздел: Дифференцируемость комплексных функций

Задание: Доказать, что функция \( w(z) = z \Re(z) \) дифференцируема только в точке \( z = 0 \) и найти \( w'(0) \).

Решение:

Шаг 1: Представляем функцию через вещественные и мнимые части

Пусть \( z \in \mathbb{C} \) – комплексное число, которое можно записать в виде: \[ z = x + iy, \] где \( x = \Re(z) \) — вещественная часть, а \( y = \Im(z) \) — мнимая часть.

Теперь выразим функцию \( w(z) \). Учитывая, что \( \Re(z) = x \), функция \( w(z) \) записывается как: \[ w(z) = z \Re(z) = (x + iy) x = x^2 + ixy. \] Таким образом, мы представили функцию \( w(z) \) через вещественные и мнимые части \( z \).

Здесь: \[ w(z) = u(x, y) + iv(x, y), \] где: \[ u(x, y) = x^2 \quad \text{(вещественная часть)}, \] \[ v(x, y) = xy \quad \text{(мнимая часть)}. \]

Шаг 2: Проверка на выполнение условий Коши-Римана

Для того чтобы функция была дифференцируема в точке, она должна удовлетворять условиям Коши-Римана. Условия Коши-Римана для комплексно-дифференцируемой функции \( w(z) = u(x, y) + iv(x, y) \) имеют вид: \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad \text{и} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}. \] Вычислим частные производные для функции \( u(x, y) = x^2 \) и \( v(x, y) = xy \).

Для \( u(x, y) = x^2 \): \[ \frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 0. \] Для \( v(x, y) = xy \): \[ \frac{\partial v}{\partial x} = y, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = x. \]

Теперь проверим выполнение условий Коши-Римана: 1) Условие: \( \frac{\partial u}{\partial x} = 2x \) и \( \frac{\partial v}{\partial y} = x \). Эти частные производные совпадают только в случае, если \( x = 0 \). 2) Условие: \( \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \) и \( -\frac{\partial v}{\partial x} = -y \). Эти частные производные совпадают только в случае, если \( y = 0 \). Таким образом, одновременно оба условия Коши-Римана выполняются только в точке \( z = 0 \), то есть для \( z = x + iy = 0 \) (где \( x = 0 \) и \( y = 0 \)).

Шаг 3: Поиск производной \( w'(z) \) в точке \( z = 0 \)

Теперь вычислим производную \( w'(z) \) в точке \( z = 0 \). Напомним, что производная \( w'(z) \) в точке \( z_0 \) определяется как: \[ w'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{w(z) - w(z_0)}{z - z_0}. \] В нашем случае \( z_0 = 0 \), и тогда: \[ w'(0) = \lim_{z \to 0} \frac{w(z) - w(0)}{z}. \]

Так как \( w(0) = 0 \), получаем: \[ w'(0) = \lim_{z \to 0} \frac{w(z)}{z}. \] Ранее мы нашли, что \( w(z) = x^2 + ixy \), то есть: \[ w(z) = z \Re(z) = z x = (x + iy)x = x^2 + ixy. \]

Теперь разделим выражение \( w(z) = x^2 + ixy \) на \( z = x + iy \): \[ \frac{w(z)}{z} = \frac{x^2 + ixy}{x + iy}. \] При \( z \to 0 \) (то есть при \( x \to 0 \) и \( y \to 0 \)), это выражение стремится к 0. Следовательно, производная в точке \( z = 0 \) будет равна: \[ w'(0) = 0. \]

Ответ:

1. Функция \( w(z) = z \Re(z) \) дифференцируема только в точке \( z = 0 \).
2. \( w'(0) = 0 \).