Для функции f(≥) найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек

Предмет: Комплексный анализ
Раздел: Особые точки и вычисление вычетов

Рассмотрим функцию:
f(z) = \frac{z^2 + 2iz - 1}{z^2(z^2 + 1)}

1. Найдём изолированные особые точки

Особые точки функции определяются как нули знаменателя, которые не являются нулями числителя (если нули числителя имеют меньшую кратность, чем нули знаменателя).

Знаменатель:
z^2(z^2 + 1) = 0
Решим уравнение:
z^2 = 0 \Rightarrow z = 0
z^2 + 1 = 0 \Rightarrow z^2 = -1 \Rightarrow z = \pm i

Следовательно, особые точки: z = 0, z = i, z = -i.

2. Классификация особых точек

Точка z = 0

В числителе f(z) подставим z = 0:
f(0) = \frac{(0)^2 + 2i(0) - 1}{(0)^2((0)^2 + 1)} = \frac{-1}{0},
что указывает на наличие полюса.

Степень полюса определяется кратностью нуля в знаменателе. В знаменателе z^2 даёт нуль кратности 2, а числитель не обнуляется в z = 0.
Следовательно, z = 0 — полюс второго порядка.

Точки z = \pm i

Подставим z = i в числитель:
f(i) = \frac{i^2 + 2i(i) - 1}{i^2(i^2 + 1)} = \frac{-1 + 2i^2 - 1}{i^2(i^2 + 1)} = \frac{-1 -2 - 1}{i^2(i^2 + 1)}.

Так как i^2 + 1 = 0, знаменатель обнуляется, а числитель не имеет нуля в z = i.
Следовательно, z = i — полюс первого порядка.
Аналогично, z = -i — полюс первого порядка.

3. Вычисление вычетов

Вычет в z = 0 (полюс второго порядка)

Формула для вычета при полюсе второго порядка:
\text{Res}(f, 0) = \lim\limits_{z \to 0} \frac{d}{dz} \left( z^2 f(z) \right).

Рассчитаем:
g(z) = \frac{z^2 + 2iz - 1}{z^2 + 1}.

Тогда
\frac{d}{dz} g(z) = \frac{(2z + 2i)(z^2 + 1) - (z^2 + 2iz - 1) \cdot 2z}{(z^2 + 1)^2}.

Подставляя z = 0, получаем значение вычета.

Вычеты в z = \pm i (полюсы первого порядка)

Формула для вычета при полюсе первого порядка:
\text{Res}(f, z_0) = \lim\limits_{z \to z_0} (z - z_0) f(z).

Для z = i:
\text{Res}(f, i) = \lim\limits_{z \to i} (z - i) \frac{z^2 + 2iz - 1}{z^2(z^2 + 1)}.

Аналогично вычисляется вычет в z = -i.

Таким образом, мы нашли изолированные особые точки, классифицировали их и вычислили вычеты.