Для функции f(z) найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек

Предмет: Комплексный анализ
Раздел: Особые точки и вычисление вычетов

Рассмотрим функцию:
f(z) = \frac{\sin^2(\pi z)}{(z^2 - \pi^2)^2}

1. Поиск изолированных особых точек

Особые точки функции возникают там, где знаменатель обращается в ноль, но числитель не зануляется одновременно. Рассмотрим уравнение:
(z^2 - \pi^2)^2 = 0
Это эквивалентно:
z^2 - \pi^2 = 0 \Rightarrow z = \pm \pi

Таким образом, у функции есть две изолированные особые точки: z = \pi и z = -\pi.

2. Классификация особых точек

Рассмотрим порядок нулей числителя и знаменателя в найденных точках.

• Числитель \sin^2(\pi z) имеет нули в точках z = k, где k \in \mathbb{Z}. В частности, в z = \pm \pi он имеет нуль первого порядка, так как \sin(\pi z) ведет себя как (z - \pi) около z = \pi.
• Знаменатель (z^2 - \pi^2)^2 имеет нули второго порядка в z = \pm \pi.

Так как порядок нуля знаменателя (2) больше, чем у числителя (1), в точках z = \pm \pi функция имеет полюсы второго порядка.

3. Вычисление вычетов

Для полюса второго порядка z_0 вычет вычисляется по формуле:
\text{Res}(f, z_0) = \lim\limits_{z \to z_0} \frac{d}{dz} \left( (z - z_0)^2 f(z) \right)

Рассмотрим z = \pi:
Определим вспомогательную функцию:
g(z) = \frac{\sin^2(\pi z)}{(z - \pi)^2 (z + \pi)^2}
Так как \sin(\pi z) \approx \pi (z - \pi) при z \approx \pi, то:
\sin^2(\pi z) \approx \pi^2 (z - \pi)^2

Тогда:
g(z) = \frac{\pi^2 (z - \pi)^2}{(z - \pi)^2 (z + \pi)^2} = \frac{\pi^2}{(z + \pi)^2}

Производная:
\frac{d}{dz} g(z) = \frac{d}{dz} \left( \frac{\pi^2}{(z + \pi)^2} \right) = -\frac{2\pi^2}{(z + \pi)^3}

Вычет:
\text{Res}(f, \pi) = \lim\limits_{z \to \pi} -\frac{2\pi^2}{(z + \pi)} = -\frac{2\pi^2}{(2\pi)} = -\frac{\pi}{2}

Аналогично, для z = -\pi:
\text{Res}(f, -\pi) = -\frac{\pi}{2}

4. Ответ

• Изолированные особые точки: z = \pm \pi.
• Классификация: полюсы второго порядка.
• Вычеты:
  \text{Res}(f, \pi) = -\frac{\pi}{2},
  \text{Res}(f, -\pi) = -\frac{\pi}{2}.