Дифференцируемость комплексных функций, нахождение производной

Предмет: Математический анализ

Раздел: Комплексный анализ (Дифференцируемость комплексных функций, нахождение производной)

Рассмотрим функцию:
 f(z) = \operatorname{sh}(i - z) 

1. Определим область дифференцируемости

Функция  \operatorname{sh}(z)  (гиперболический синус) является аналитической во всей комплексной плоскости, так как представляется через экспоненциальную функцию:
 \operatorname{sh}(z) = \frac{e^z - e^{-z}}{2} 

Следовательно, функция  f(z) = \operatorname{sh}(i - z)  также аналитична во всей комплексной плоскости, так как представляет собой композицию аналитических функций.

Вывод: область дифференцируемости — вся комплексная плоскость  \mathbb{C} .

2. Найдем производную

По правилу дифференцирования гиперболического синуса:
 \frac{d}{dz} \operatorname{sh}(z) = \operatorname{ch}(z) 

Следовательно,
 f'(z) = \frac{d}{dz} \operatorname{sh}(i - z) = \operatorname{ch}(i - z) \cdot (-1) = -\operatorname{ch}(i - z) 

Используем выражение для гиперболического косинуса:
 \operatorname{ch}(z) = \frac{e^z + e^{-z}}{2} 

Тогда:
 f'(z) = -\frac{e^{i-z} + e^{-(i-z)}}{2} 

3. Выделим действительную и мнимую часть

Раскроем экспоненты:
 e^{i-z} = e^{-z} e^i = e^{-z} (\cos 1 + i \sin 1) 
 e^{-(i-z)} = e^{z} e^{-i} = e^{z} (\cos 1 - i \sin 1) 

Подставляем в производную:
 f'(z) = -\frac{e^{-z} (\cos 1 + i \sin 1) + e^{z} (\cos 1 - i \sin 1)}{2} 

Разделим на действительную и мнимую часть:

• Действительная часть:
   -\frac{e^{-z} \cos 1 + e^z \cos 1}{2} = -\cos 1 \cdot \frac{e^z + e^{-z}}{2} = -\cos 1 \cdot \operatorname{ch}(z) 
• Мнимая часть:
   -\frac{e^{-z} i \sin 1 + e^z (-i \sin 1)}{2} = i \sin 1 \cdot \frac{e^z - e^{-z}}{2} = i \sin 1 \cdot \operatorname{sh}(z) 

Ответ:

• Действительная часть:  -\cos 1 \cdot \operatorname{ch}(z) 
• Мнимая часть:  i \sin 1 \cdot \operatorname{sh}(z)