Анализ особенностей аналитических функций

Это задание относится к предмету "Комплексный анализ", раздел "Анализ особенностей аналитических функций". Сосредоточимся на функции f(z) = (z - sin(z)) / z^6 и определим характер её особых точек.

1. Найдем особые точки функции.

Особые точки функции можно найти, когда знаменатель равен нулю, но числитель не может равняться нулю одновременно, чтобы точка была подлежащей анализу. Здесь знаменатель z^6 равен нулю при z = 0.

2. Изучим поведение числителя z - sin(z) при z → 0.

Используем ряд Тейлора для sin(z):

sin(z) = z - z^3/3! + z^5/5! - ...

Таким образом,

z - sin(z) = z - (z - z^3/3! + z^5/5! - ...) = z^3/3! - z^5/5! + ...

Это показывает, что z - sin(z) имеет в нуле порядок 3, так как минимальная степень z в разложении — z^3.

3. Определим характер особой точки в нуле.

Итак,

f(z) = (z^3/3! - z^5/5! + ...) / z^6 = (z^3 * (1/3! - z^2/5! + ...)) / z^6 = 1/(3! * z^3) - 1/(5! * z).

Таким образом, в нуле присутствует полюс порядка 3, потому что при разложении главный член равен 1/(3! * z^3).

Характер особой точки: z = 0 — полюс третьего порядка.

Таким образом, характер особой точки функции f(z) при z = 0 — это полюс порядка 3.