Аналитические функции, условия Коши-Римана

Определение предмета и раздела:

Предмет: Комплексный анализ
Раздел: Аналитические функции, условия Коши-Римана

Решение:

1. Проверка условий Коши-Римана

Дана функция:

 u = x^2 - y^2 - 2y 

Если  u  является действительной частью аналитической функции  f(z) = u + iv , то должна существовать функция  v(x, y)  такая, что выполняются условия Коши-Римана:

 \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} 

Вычислим частные производные для  u :

 \frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -2y - 2 

Пусть  v(x, y)  — мнимая часть аналитической функции. Тогда условия Коши-Римана дают:

 \frac{\partial v}{\partial y} = 2x, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = 2y + 2 

2. Найдём  v(x, y) 

Рассмотрим первое уравнение:

 \frac{\partial v}{\partial y} = 2x 

Интегрируем по  y :

 v(x, y) = 2xy + \phi(x) 

Теперь используем второе уравнение:

 \frac{\partial v}{\partial x} = 2y + 2 

Подставляем  v(x, y) :

 \frac{\partial}{\partial x} (2xy + \phi(x)) = 2y + 2 

 2y + \phi'(x) = 2y + 2 

Отсюда получаем:

 \phi'(x) = 2 \Rightarrow \phi(x) = 2x + C 

Таким образом, функция  v(x, y)  имеет вид:

 v(x, y) = 2xy + 2x + C 

3. Восстановление аналитической функции  f(z) 

Функция  f(z)  имеет вид:

 f(z) = u + iv = (x^2 - y^2 - 2y) + i(2xy + 2x + C) 

Запишем через  z = x + iy :

 x^2 - y^2 = \text{Re}(z^2) 

 2xy = \text{Im}(z^2) 

Следовательно,

 f(z) = z^2 - 2y + i(2xy + 2x + C) 

Выразим  y  через  z :  y = \frac{z - \bar{z}}{2i} . Так как  f(z)  должно быть аналитической функцией, перепишем выражение:

 f(z) = z^2 - 2 \left(\frac{z - \bar{z}}{2i} \right) + i(2xy + 2x + C) 

Так как  f(z)  не должно зависеть от  \bar{z} , мы можем предположить, что  -2y  соответствует мнимой части  f(z) . Тогда получаем:

 f(z) = z^2 - 2iz + C 

4. Определение  C  из условия  f(0) = 0 

Подставляем  z = 0 :

 0^2 - 2i(0) + C = 0 \Rightarrow C = 0 

Таким образом, искомая аналитическая функция:

 f(z) = z^2 - 2iz 

Ответ:

Функция  u = x^2 - y^2 - 2y  действительно является действительной частью аналитической функции, и эта функция имеет вид:

 f(z) = z^2 - 2iz