Записать число z в алгебраической и тригонометрической формах

Предмет: Комплексные числа

Раздел: Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексных чисел

Дано комплексное число:
z = \frac{-4}{\sqrt{3}} - 1.

Требуется:

1. Записать число z в алгебраической и тригонометрической формах.
2. Найти 2z и 3z.

Решение:

1. Запишем число z в алгебраической форме:

Число z уже представлено в алгебраической форме:
z = -\frac{4}{\sqrt{3}} - 1 = -\frac{4}{\sqrt{3}} - i \cdot 1,
где действительная часть: \text{Re}(z) = -\frac{4}{\sqrt{3}},
мнимая часть: \text{Im}(z) = -1.

2. Найдем модуль и аргумент числа z:

Модуль числа z:
|z| = \sqrt{\left(\text{Re}(z)\right)^2 + \left(\text{Im}(z)\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{16}{3} + 1} = \sqrt{\frac{16}{3} + \frac{3}{3}} = \sqrt{\frac{19}{3}} = \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{3}}.

Аргумент числа z:
\varphi = \arctan\left(\frac{\text{Im}(z)}{\text{Re}(z)}\right) = \arctan\left(\frac{-1}{-\frac{4}{\sqrt{3}}}\right) = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right).

3. Запишем число z в тригонометрической форме:

Тригонометрическая форма комплексного числа:
z = |z| \cdot \left(\cos \varphi + i \sin \varphi\right).

Подставим значения:
z = \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{3}} \cdot \left(\cos\left(\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\right) + i \sin\left(\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\right)\right).

4. Найдем 2z и 3z:

• 2z:
  2z = 2 \cdot |z| \cdot \left(\cos \varphi + i \sin \varphi\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{3}} \cdot \left(\cos\left(\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\right) + i \sin\left(\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\right)\right).

• 3z:
  3z = 3 \cdot |z| \cdot \left(\cos \varphi + i \sin \varphi\right) = 3 \cdot \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{3}} \cdot \left(\cos\left(\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\right) + i \sin\left(\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\right)\right).

Ответ:

1. Алгебраическая форма:
   z = -\frac{4}{\sqrt{3}} - i.

   Тригонометрическая форма:
   z = \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{3}} \cdot \left(\cos\left(\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\right) + i \sin\left(\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\right)\right).

2. 2z = 2 \cdot \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{3}} \cdot \left(\cos\left(\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\right) + i \sin\left(\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\right)\right),
   3z = 3 \cdot \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{3}} \cdot \left(\cos\left(\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\right) + i \sin\left(\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\right)\right).