Выполнение операций с комплексными числами

Предмет: Алгебра
Раздел: Комплексные числа

Задание состоит в выполнении операций с комплексными числами. Комплексное число имеет вид (a + bi), где (a) — действительная часть, (b) — мнимая часть, а (i) — мнимая единица ((i^2 = -1)). Рассмотрим каждое выражение по порядку.

1) ((3 - 2i) + (5 + 3i))

Для сложения комплексных чисел складываем их действительные и мнимые части отдельно:

[ (3 - 2i) + (5 + 3i) = (3 + 5) + (-2i + 3i) ]

[ = 8 + i ]

Ответ: ([8 + i])

2) ((1 + 2i) - (3 - i))

Для вычитания комплексных чисел вычитаем их действительные и мнимые части отдельно:

[ (1 + 2i) - (3 - i) = (1 - 3) + (2i - (-i)) ]

[ = -2 + 3i ]

Ответ: ([-2 + 3i])

3) (3(2 - i)(1 - i))

Сначала раскроем скобки, используя распределительное свойство:

[ (2 - i)(1 - i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-i) + (-i) \cdot 1 + (-i) \cdot (-i) ]

[ = 2 - 2i - i + i^2 ]

Так как (i^2 = -1), то:

[ = 2 - 2i - i - 1 = 1 - 3i ]

Теперь умножим результат на 3:

[ 3(1 - 3i) = 3 - 9i ]

Ответ: ([3 - 9i])

4) ((1 + 3i)(-7 + 2i))

Раскроем скобки:

[ (1 + 3i)(-7 + 2i) = 1 \cdot (-7) + 1 \cdot 2i + 3i \cdot (-7) + 3i \cdot 2i ]

[ = -7 + 2i - 21i + 6i^2 ]

Так как (i^2 = -1), то:

[ = -7 + 2i - 21i + 6(-1) = -7 + 2i - 21i - 6 ]

[ = -13 - 19i ]

Ответ: ([-13 - 19i])

5) ((2 - i)^2)

Используем формулу квадрата суммы: ((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2). Здесь (a = 2), (b = -i):

[ (2 - i)^2 = 2^2 + 2(2)(-i) + (-i)^2 ]

[ = 4 - 4i + i^2 ]

Так как (i^2 = -1), то:

[ = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i ]

Ответ: ([3 - 4i])

6) ((1 + 2i)^3)

Используем формулу куба суммы: ((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3). Здесь (a = 1), (b = 2i):

[ (1 + 2i)^3 = 1^3 + 3(1^2)(2i) + 3(1)(2i)^2 + (2i)^3 ]

[ = 1 + 6i + 3(4i^2) + 8i^3 ]

Так как (i^2 = -1) и (i^3 = i^2 \cdot i = -i), то:

[ = 1 + 6i + 3(4)(-1) + 8(-i) ]

[ = 1 + 6i - 12 - 8i ]

[ = -11 - 2i ]

Ответ: ([-11 - 2i])

Итоги:

1. ([8 + i])
2. ([-2 + 3i])
3. ([3 - 9i])
4. ([-13 - 19i])
5. ([3 - 4i])
6. ([-11 - 2i])