Вычислите значение выражения

Предмет: Математика
Раздел: Комплексные числа

Нам нужно вычислить значение выражения:

 \frac{(86.38 - 4.74i)(-8.35 - 3.2i)}{-3.46 - 2.48i} 

Шаг 1: Перепишем выражение

Для удобства обозначим:  z_1 = 86.38 - 4.74i, \quad z_2 = -8.35 - 3.2i, \quad z_3 = -3.46 - 2.48i 

Тогда выражение можно переписать так:  \frac{z_1 z_2}{z_3}. 

Шаг 2: Найдем произведение z_1 z_2

Чтобы перемножить два комплексных числа, используем правило:  (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i. 

Подставим значения z_1 = 86.38 - 4.74i и z_2 = -8.35 - 3.2i:  z_1 z_2 = (86.38)(-8.35) - (4.74)(-3.2) + [(86.38)(-3.2) + (-4.74)(-8.35)]i. 

Выполним вычисления для действительной части:  (86.38)(-8.35) = -721.213, \quad (4.74)(-3.2) = -15.168, \quad \text{значит: } -721.213 - (-15.168) = -721.213 + 15.168 = -706.045. 

Теперь вычислим мнимую часть:  (86.38)(-3.2) = -276.416, \quad (-4.74)(-8.35) = 39.615, \quad \text{значит: } -276.416 + 39.615 = -236.801. 

Таким образом:  z_1 z_2 = -706.045 - 236.801i. 

Шаг 3: Разделим z_1 z_2 на z_3

Чтобы разделить комплексные числа, домножим числитель и знаменатель на сопряженное число знаменателя. Сопряженное число для z_3 = -3.46 - 2.48i — это -3.46 + 2.48i.

Итак:  \frac{z_1 z_2}{z_3} = \frac{(-706.045 - 236.801i)(-3.46 + 2.48i)}{(-3.46 - 2.48i)(-3.46 + 2.48i)}. 

Шаг 4: Найдем знаменатель

В знаменателе произведение сопряженных чисел равно:  (-3.46)^2 + (2.48)^2 = 3.46^2 + 2.48^2. 

Вычислим:  3.46^2 = 11.9716, \quad 2.48^2 = 6.1504, \quad \text{значит: } 11.9716 + 6.1504 = 18.122. 

Значит, знаменатель равен 18.122.

Шаг 5: Найдем числитель

Теперь найдем произведение (-706.045 - 236.801i)(-3.46 + 2.48i):  (-706.045)(-3.46) + (-706.045)(2.48i) + (-236.801i)(-3.46) + (-236.801i)(2.48i). 

Выполним вычисления для действительной части:  (-706.045)(-3.46) = 2443.9187, \quad (-236.801i)(2.48i) = -236.801 \cdot 2.48 \cdot (-1) = 586.24648, \quad \text{значит: } 2443.9187 + 586.24648 = 3030.1652. 

Для мнимой части:  (-706.045)(2.48) = -1750.9806, \quad (-236.801)(-3.46) = 819.3135, \quad \text{значит: } -1750.9806 + 819.3135 = -931.6671. 

Таким образом:  \text{Числитель } = 3030.1652 - 931.6671i. 

Шаг 6: Разделим числитель на знаменатель

Теперь разделим каждую часть числителя на знаменатель:  \frac{3030.1652}{18.122} \approx 167.23, \quad \frac{-931.6671}{18.122} \approx -51.42. 

Итак, результат:  167.23 - 51.42i. 

Ответ:  167.23 - 51.42i.