Вычислить примеры с комплексными числами

Это задание относится к разделу математики, а именно - к разделу комплексных чисел. Дано выражение: \[ \frac{(2 + i)(3 - 2i) - 3i}{(1 - i)^2 + 2} \]

Шаг 1: Вычисляем числитель

Числитель имеет вид: \[(2 + i)(3 - 2i) - 3i\]

Для начала перемножим комплексные числа \( (2 + i) \) и \( (3 - 2i) \) по правилу распределения:

\[ (2 + i)(3 - 2i) = 2 \cdot 3 + 2 \cdot (-2i) + i \cdot 3 + i \cdot (-2i) \]

Рассчитаем:

\[ = 6 - 4i + 3i - 2i^2 \]

Известно, что \( i^2 = -1 \):

\[ = 6 - 4i + 3i - 2(-1) \]

\[ = 6 - 4i + 3i + 2 \]

\[ = 8 - i \]

Теперь вычтем \( 3i \) из результата:

\[ (8 - i) - 3i = 8 - 4i \]

Итак, числитель равен: \[ 8 - 4i \]

Шаг 2: Вычисляем знаменатель

Знаменатель имеет вид: \[ (1 - i)^2 + 2 \]

Сначала возведем скобку \( (1 - i) \) в квадрат:

\[ (1 - i)^2 = (1 - i)(1 - i) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-i) + (-i) \cdot 1 + (-i) \cdot (-i) \]

Рассчитаем:

\[ = 1 - i - i + i^2 \]

\[ = 1 - 2i + (-1) \]

\[ = -2i \]

Теперь добавим 2 к данному результату:

\[ -2i + 2 = 2 - 2i \]

Шаг 3: Записываем результат

Теперь делим числитель на знаменатель:

\[ \frac{8 - 4i}{2 - 2i} \]

Для удобства избавимся от комплексности в знаменателе: домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю \( 2 + 2i \):

\[ \frac{(8 - 4i)(2 + 2i)}{(2 - 2i)(2 + 2i)} \]

Рассчитаем знаменатель:

\[ (2 - 2i)(2 + 2i) = 4 + 4i - 4i - 4i^2 = 4 + 4 = 8 \]

Теперь перемножим числитель:

\[ (8 - 4i)(2 + 2i) = 8 \cdot 2 + 8 \cdot 2i - 4i \cdot 2 - 4i \cdot 2i \]

\[ = 16 + 16i - 8i - 8i^2 \]

\[ = 16 + 8i - 8(-1) \]

\[ = 16 + 8i + 8 = 24 + 8i \]

Теперь делим числитель на знаменатель:

\[ \frac{24 + 8i}{8} = 3 + i \]

Ответ:

Результат выражения равен: \[ 3 + i \]