Вычислить предел выражения

Решим этот предел шаг за шагом:

1. Преобразование выражения: Исходная форма выражения неудобна для предельного перехода, давайте попробуем ее упростить. Нам пригодится логарифмирование, которое преобразует показательную форму. Обозначим наш предел через \( L \): \[ L = \lim_{x \to 0} \left( 1 + \tan(x) \right)^{\frac{1}{x}}. \] Возьмем натуральный логарифм от обеих частей: \[ \ln(L) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln\left( 1 + \tan(x) \right)}{x}. \]
2. Использование разложения в ряд: Напомним, что для малых значений \( x \), тангенс можно разложить в ряд Тейлора: \[ \tan(x) \approx x + \frac{x^3}{3} + o(x^3) \text{ при } x \to 0. \] Таким образом, при \( x \to 0 \), приближенно: \[ 1 + \tan(x) \approx 1 + x. \]
3. Заменим в логарифм: Подставим это приближение в логарифм: \[ \ln(1 + \tan(x)) \approx \ln(1 + x). \] Напомним, что для малых \( x \) также выполняется \( \ln(1 + x) \approx x \). Таким образом: \[ \ln(1 + \tan(x)) \approx x. \] После этого наше выражение для предела упрощается: \[ \ln(L) = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1. \]
4. Возвращаемся к исходному выражению: Теперь возвращаемся из логарифма: \[ L = e^1 = e. \]

Ответ:

Предел равен \( e \). \[ \lim_{x \to 0} \left( 1 + \tan(x) \right)^{\frac{1}{x}} = e. \]

На данной фотографии представлено задание из раздела математического анализа, что можно понять по терминам "предел", "логарифм", "комплексные числа".

В этом случае третье задание просит вычислить предел выражения: \[ \lim_{x \to 0} \left( 1 + \tan(x) \right)^{\frac{1}{x}}. \]