Вычислить несобственный интеграл

Для вычисления несобственного интеграла от функции x^2/(1+x^4) от -бесконечности до +бесконечности, сначала нужно понять, как подходить к таким интегралам. Данный интеграл является несобственным из-за пределов интегрирования.

Шаг 1: Разделение на два интеграла

Несобственный интеграл можно рассматривать как сумму двух интегралов:

Интеграл от -бесконечности до 0 (x^2/(1+x^4))dx + интеграл от 0 до +бесконечности (x^2/(1+x^4))dx.

Шаг 2: Замена переменной и симметрия функции

Поскольку функция является четной (f(-x) = f(x)), интеграл от -бесконечности до 0 будет равен интегралу от 0 до +бесконечности. Поэтому исходный интеграл можно записать как:

2 * интеграл от 0 до +бесконечности (x^2/(1+x^4))dx.

Шаг 3: Замена переменной

Используем замену переменных, чтобы упростить интегрирование. Положим x^2 = t, тогда dx = (1/(2√t)) dt и пределы интегрирования изменятся от x=0 (то есть t=0) до x=бесконечность (t=бесконечность). Итак, теперь наш интеграл принимает вид:

Интеграл от 0 до +бесконечности (t/(1+t^2)) * dt/(2√t).

При этом мы видим, что теперь наш интеграл получается симметричным относительно t и поменяли переменную.

Шаг 4: Заменим переменную снова

Для интегрирования удобно сделать еще одну замену: t = 1/u, тогда dt = -1/u^2 du. Когда t меняется от 0 до бесконечности, u изменяется от бесконечности до 0. Теперь интеграл переписывается как:

Интеграл от бесконечности до 0 ((1/u)(1+1/u^2) * -du/(2√(1/u))).

После упрощения:

Интеграл от 0 до бесконечности (u^2/(1+u^4)) du/(2).

Шаг 5: Вычисление интеграла

Раскладываем наш интеграл в сумму частичных дробей или применяем известные интегральные формулы для конкретных выражений, и получаем:

Интеграл от 0 до бесконечности (u^2/(1+u^4)) du = π/2√2.

Шаг 6: Итог

После проделанных замен и упрощений окончательный ответ интеграла от -бесконечности до +бесконечности (x^2/(1+x^4)) dx равен π/√2. Итак, интеграл I = 2 * (π/2√2) = π/√2, что является конечным и положительным числом, подтверждающим правильность вычислений.