Вычислить модуль следующего выражения

Предмет: Математика
Раздел: Комплексные числа, тригонометрическая форма комплексного числа, извлечение степеней комплексных чисел

Задание:

Вычислить модуль следующего выражения:

 \left|(\sqrt{3} - i)^{50} + (1 - i\sqrt{3})^{50}\right| 

Обозначим:  z_1 = \sqrt{3} - i, \quad z_2 = 1 - i\sqrt{3} 

Переведём эти числа в тригонометрическую форму.

Шаг 1: Найдём модуль и аргумент числа z_1 = \sqrt{3} - i

Модуль:  |z_1| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 

Аргумент:  \arg(z_1) = \arctan\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6} 

Тогда:  z_1 = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) 

Шаг 2: Найдём модуль и аргумент числа z_2 = 1 - i\sqrt{3}

Модуль:  |z_2| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 

Аргумент:  \arg(z_2) = \arctan\left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right) = -\frac{\pi}{3} 

Тогда:  z_2 = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) 

Шаг 3: Возводим в степень

Используем формулу Муавра:  z^n = r^n \left(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi)\right) 

Для z_1^{50}:  z_1^{50} = 2^{50} \left(\cos\left(-\frac{50\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{50\pi}{6}\right)\right) = 2^{50} \left(\cos\left(-\frac{25\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{25\pi}{3}\right)\right) 

Для z_2^{50}:  z_2^{50} = 2^{50} \left(\cos\left(-\frac{50\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{50\pi}{3}\right)\right) 

Шаг 4: Упростим аргументы

Период косинуса и синуса — 2\pi, поэтому можно привести аргументы к эквивалентным:

 -\frac{25\pi}{3} = -8\cdot 2\pi - \frac{\pi}{3} \Rightarrow \cos\left(-\frac{25\pi}{3}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right), \quad \sin\left(-\frac{25\pi}{3}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) 

 -\frac{50\pi}{3} = -16\cdot 2\pi - \frac{2\pi}{3} \Rightarrow \cos\left(-\frac{50\pi}{3}\right) = \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right), \quad \sin\left(-\frac{50\pi}{3}\right) = \sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) 

Шаг 5: Подставим и сложим

 z_1^{50} = 2^{50} \left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) 

 z_2^{50} = 2^{50} \left(\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right) 

Сумма:  z_1^{50} + z_2^{50} = 2^{50} \left[\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + i\left(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right)\right] 

Значения тригонометрических функций:

• \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}
• \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}
• \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}
• \sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}

Подставим:  z_1^{50} + z_2^{50} = 2^{50} \left[\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + i\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right] = 2^{50} \cdot \left(-i\sqrt{3}\right) 

Шаг 6: Найдём модуль

 \left|z_1^{50} + z_2^{50}\right| = \left|2^{50} \cdot (-i\sqrt{3})\right| = 2^{50} \cdot \sqrt{3} 

Ответ:

 \boxed{2^{50} \cdot \sqrt{3}}