Вычислить интегралы

Данный запрос относится к разделу комплексного анализа, который изучается в рамках высшей математики. Для решения интеграла необходимо использовать комплексный интеграл по кривой. В данном случае речь идет о комплексном интеграле:

∫(L) (dz/(z-1))

Выражение z - 1 в знаменателе указывает на особую точку в z = 1. Однако, наша кривая (нижняя половина окружности |z - 1| = 1) идет по окружности радиуса 1 вокруг этой точки с центром в (1,0) на комплексной плоскости. Поскольку L лишь нижняя половина окружности, нужно учесть, что мы стартуем с точки (2,0) и завершаем в точке (0,0). Но в большинстве случаев особой точки мы стойко избегаем, так что эффект не будет проявляться в окончательном ответе.

Тем не менее общая процедура подразумевает задействование пределов:

z(t) = 1 + e^(iπt), где t ∈ [0, 1], поскольку нижняя половина окружности преобразуется с параметризацией от точки (2,0) до (0,0) в комплексной плоскости.

dz = iπ * e^(iπt) dt

Теперь подставим в интеграл:

∫(L) (dz/(z-1)) = ∫(0→1) (iπ * e^(iπt) dt / e^(iπt)) = iπ * ∫(0→1) dt = iπ * (1 - 0) = iπ

Таким образом, значение интеграла равно iπ.

Что касается рисунка, нужно изобразить на комплексной плоскости окружность с центром в точке (1, 0) и радиусом 1, а также отметить, что контур интегрирования занимает только нижнюю половину этой окружности – от точки (2, 0) по дуге через (1, -1) до точки (0, 0).