Вычислить и результат изобразить на комплексной плоскости

Предмет: Математика

Раздел: Комплексные числа

Дано:
z_1 = 1 - i,
z_2 = -3 + 2i.

Необходимо вычислить:

1. z_1 + z_2,
2. z_1 - z_2,
3. z_1 \cdot z_2,
4. \frac{z_1}{z_2},
   а также изобразить результаты на комплексной плоскости.

Решение:

1. Сложение: z_1 + z_2 = (1 - i) + (-3 + 2i) = 1 - 3 - i + 2i = -2 + i.

2. Вычитание: z_1 - z_2 = (1 - i) - (-3 + 2i) = 1 + 3 - i - 2i = 4 - 3i.

3. Умножение: z_1 \cdot z_2 = (1 - i) \cdot (-3 + 2i).
   Используем формулу распределительного свойства:
   (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2, где i^2 = -1.
   Тогда:
   (1 - i)(-3 + 2i) = 1 \cdot (-3) + 1 \cdot 2i - i \cdot (-3) - i \cdot 2i = -3 + 2i + 3i - 2i^2.
   Учитывая, что i^2 = -1:
   -3 + 2i + 3i - 2(-1) = -3 + 5i + 2 = -1 + 5i.

4. Деление: \frac{z_1}{z_2} = \frac{1 - i}{-3 + 2i}.
   Для деления домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю:
   \frac{1 - i}{-3 + 2i} \cdot \frac{-3 - 2i}{-3 - 2i} = \frac{(1 - i)(-3 - 2i)}{(-3 + 2i)(-3 - 2i)}.

   Сначала вычислим знаменатель:
   (-3 + 2i)(-3 - 2i) = (-3)^2 - (2i)^2 = 9 - 4i^2 = 9 - 4(-1) = 9 + 4 = 13.

   Теперь числитель:
   (1 - i)(-3 - 2i) = 1 \cdot (-3) + 1 \cdot (-2i) - i \cdot (-3) - i \cdot (-2i) = -3 - 2i + 3i + 2i^2.
   Учитывая, что i^2 = -1:
   -3 - 2i + 3i + 2(-1) = -3 + i - 2 = -5 + i.

   Таким образом:
   \frac{z_1}{z_2} = \frac{-5 + i}{13} = -\frac{5}{13} + \frac{1}{13}i.

Ответ:

1. z_1 + z_2 = -2 + i,
2. z_1 - z_2 = 4 - 3i,
3. z_1 \cdot z_2 = -1 + 5i,
4. \frac{z_1}{z_2} = -\frac{5}{13} + \frac{1}{13}i.

Графическое представление:

На комплексной плоскости каждая точка представлена в виде x + yi, где x — действительная часть, а y — мнимая.

Точки:

• z_1 + z_2 = -2 + i (точка (-2, 1)),
• z_1 - z_2 = 4 - 3i (точка (4, -3)),
• z_1 \cdot z_2 = -1 + 5i (точка (-1, 5)),
• \frac{z_1}{z_2} = -\frac{5}{13} + \frac{1}{13}i (точка (-\frac{5}{13}, \frac{1}{13})).

Результаты можно отметить на комплексной плоскости.