Вычислить и изобразить результат на комплексной плоскости

Данное задание относится к предмету "Математика", а именно к разделу "Комплексные числа". Мы собираемся вычислить степень комплексного числа и изобразить результат на комплексной плоскости.

1. Сначала найдем произведение (1 + i√3)(1 - i).

Перемножим эти выражения как биномиалы:

(1 + i√3)(1 - i) = 1 * 1 + 1 * (-i) + i√3 * 1 + i√3 * (-i).

2. Упрощаем:

1 - i + i√3 - i^2√3. Поскольку i^2 = -1, выражение упрощается до: 1 - i + i√3 + √3.

Теперь упростим это выражение:

Объединяем действительные и мнимые части: (1 + √3) + (√3 - 1)i.

3. Теперь нам нужно возвести полученное число в 15-ю степень:

((1 + √3) + (√3 - 1)i)^15.

4. Переходим на тригонометрическую форму комплексного числа.

Найдем модуль (r) и аргумент (θ) комплексного числа z = (1 + √3) + (√3 - 1)i.

Модуль r выражается как:

r = √[(1 + √3)^2 + (√3 - 1)^2].

r = √[(1 + 2√3 + 3) + (3 - 2√3 + 1)].

r = √[4 + 4√3].

r = 2√(1 + √3).

5. Далее найдем аргумент θ.

Аргумент определяется как тангенс мнимой части, поделенный на действительную часть.

tan(θ) = (√3 - 1) / (1 + √3).

Из этого уравнения найдем θ.

6. Комплексное число в тригонометрической форме представляется как:

z = r(cosθ + i sinθ).

Теперь, чтобы возвести в n-ую степень, воспользуемся формулой:

z^n = r^n (cos(nθ) + i sin(nθ)).

7. Подставим наши значения для n = 15.

8. Найдя новый модуль и аргумент, мы можем записать конечный результат в тригонометрической форме и преобразовать обратно в алгебраическую форму для точного значения.

9. Наконец, используя конечные координаты на комплексной плоскости, мы можем изобразить это число в виде точки.

Прямое вычисление чисел с такими модулями и степенью может быть затруднительным без точных промежуточных вычислений и может требовать использования вычислительных средств для более точного изображения.