Вычисления интегралов путём использования вычетов

Определим предмет и раздел предмета. Задание относится к высшей математике, а именно к разделу комплексного анализа, где выполняются вычисления интегралов путём использования вычетов. Рассмотрим интеграл функции по контуру |z| = 1/2. Подынтегральная функция: \(f(z) = z^2 \sin(1/z)\). Чтобы использовать метод вычисления интегралов через вычеты, нужно проанализировать особенности подынтегральной функции.

Функция \(f(z)\) имеет особенности там, где аргумент в пределах функции \(\sin(1/z)\) становится равным бесконечности. В частности, в синусе влияние оказывается, когда \(z = 0\). Расширим функцию \(f(z)\) в ряд Лорана около особенностей и найдём все её существенные полюсы.

Прежде всего, используем разложение синуса:

\[\sin\left(\frac{1}{z}\right) = \frac{1}{z} - \frac{1}{6z^3} + \frac{1}{120z^5} - \ldots\]

Таким образом, наша функция:

\[f(z) = z^2 \left( \frac{1}{z} - \frac{1}{6z^3} + \frac{1}{120z^5} - \ldots \right)\]

В результате, разложение функции по отрицательным степеням даёт:

\[f(z) = z - \frac{z^2}{6z^3} + \frac{z^2}{120z^5} - \ldots\]

\[f(z) = z - \frac{1}{6z} + \frac{1}{120z^3} - \ldots\]

Особая часть, влияющая на вычеты, находится в -\frac{1}{6z}. Это простой полюс, и его вычет равен -\frac{1}{6} при z = 0.

Теперь применим теорему о вычетах к контуру, содержащему полюс z = 0:

\[\oint_{|z|=1/2} f(z) \, dz = 2\pi i \times \left(\text{вычет функции в } z=0\right)\]

\[= 2\pi i \times \left(-\frac{1}{6}\right)\]

\[= -\frac{\pi i}{3}\]

Таким образом, значение интеграла равно -\frac{\pi i}{3}.

Теперь касательно рисования контура и особой точки:

1. Контур интегрирования будет окружностью радиуса 1/2 с центром в начале координат.
2. Особая точка, то есть полюс, находится в начале координат, z = 0. На графике нужно изобразить круг с радиусом 1/2 и отметить внутри него точку (0,0), обозначив её как особую.

Таким образом, задание выполнено, мы определили предмет, подробно объяснили решение и ответили на вопрос.