Упростить выражение

Предмет: Математика
Раздел: Комплексные числа

Упростим данные выражения:

1. z_1^2 \cdot \overline{z_2}
2. \overline{z_1} / z_2
3. \sqrt[3]{\overline{z_1} + z_2}

Обозначим:

• z_1 = a + bi, тогда \overline{z_1} = a - bi
• z_2 = c + di, тогда \overline{z_2} = c - di

Теперь упростим выражения:

1. z_1^2 \cdot \overline{z_2} = (a + bi)^2 \cdot (c - di)
   Раскроем квадрат:
   (a + bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi
   Теперь умножим на \overline{z_2}:
   (a^2 - b^2 + 2abi)(c - di)
   Раскрываем скобки:
   a^2c - a^2di - b^2c + b^2di + 2abci - 2abdi^2
   Так как i^2 = -1, то -2abdi^2 = 2abd.
   Получаем:
   (a^2 - b^2)c + 2abd + (-a^2 + b^2 + 2abc)i.

2. \overline{z_1} / z_2 = \frac{a - bi}{c + di}
   Умножим числитель и знаменатель на сопряженное c - di:
   \frac{(a - bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)}
   Знаменатель: c^2 - (di)^2 = c^2 + d^2.
   Числитель:
   ac - adi - bci + bdi^2 = ac - adi - bci - bd, так как i^2 = -1.
   Получаем:
   \frac{(ac - bd) + (-ad - bc)i}{c^2 + d^2}.

3. \sqrt[3]{\overline{z_1} + z_2} = \sqrt[3]{(a - bi) + (c + di)}
   Упростим сумму:
   a - bi + c + di = (a + c) + (d - b)i.
   Тогда выражение принимает вид:
   \sqrt[3]{(a + c) + (d - b)i}.

Это и есть упрощенные выражения.