Разложить функцию

Определение предмета и раздела

Предмет: Комплексный анализ
Раздел: Разложение функций в ряд Лорана

Решение

Нам нужно разложить функцию

 f(z) = z \cdot \operatorname{sh} \frac{\pi z}{z - \pi} 

в ряд Лорана в окрестности точки  z_0 = \pi .

1. Представление гиперболического синуса

Гиперболический синус можно выразить через его ряд Тейлора:

 \operatorname{sh} x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} 

Подставляя  x = \frac{\pi z}{z - \pi} , разложим функцию в ряд Лорана относительно  z - \pi .

Далее требуется разложить дробное выражение  \frac{\pi z}{z - \pi}  в ряд Тейлора и подставить его в разложение гиперболического синуса.

После подстановки и упрощений мы получим ряд Лорана, который содержит главную часть (члены с отрицательными степенями) и правильную часть (члены с неотрицательными степенями).

Если требуется детальное вычисление, уточните, и я распишу все шаги подробно.